已知关于 $x$ 的函数 $f(x),g(x)$，定义域均为 $\mathbb R$，且满足：
① $g(0)=0$；② 对任意实数 $x,y$ 都有 $f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)$．
① $g(0)=0$；② 对任意实数 $x,y$ 都有 $f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)$．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
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求 $f(0)$ 的值；标注答案$0$ 或 $1$解析因为对任意 $x,y\in \mathbb R$，都有$$f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),$$令 $x=y=0$，则$$f(0)=f^2(0)+g^2(0),$$因为 $g(0)=0$，所以$$f(0)=0\lor f(0)=1.$$
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求 $\left[f(x)\right]^{2016}+\left[g(x)\right]^{2016}$ 的最大值．标注答案$1$解析令 $x=y$，有$$f(0)=f^2(x)+g^2(x).$$当 $f(0)=0$ 时，有$$f^2(x)+g^2(x)=0.$$令 $y=0$，有$$f(x)=f(x)f(0)+g(x)g(0)=0,$$所以$$g(x)=0,$$此时$$[f(x)]^{2016}+[g(x)]^{2016}=0.$$当 $f(0)=1$ 时，有$$f^2(x)+g^2(x)=1,$$所以$$0\leqslant f^2(x),g^2(x)\leqslant 1.$$所以$$f^2(x)\geqslant [f(x)]^{2016},g^2(x)\geqslant [g(x)]^{2016},$$从而$$[f(x)]^{2016}+[g(x)]^{2016}\leqslant f^2(x)+g^2(x)=1,$$所以 $[f(x)]^{2016}+[g(x)]^{2016}$ 的最大值为 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
