已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-1$（$n\in \mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
-
求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\begin{cases}0,&n=1\\ 2n-1,&n\geqslant 2\end{cases}$解析当 $n=1$ 时，$$a_1=S_1=0.$$当 $n\geqslant 2$ 时，$$a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1.$$所以$$a_n=\begin{cases}0,&n=1\\ 2n-1,&n\geqslant 2\end{cases}$$
-
若数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_n=\dfrac{b_1}{2\times 1}+\dfrac{b_2}{2\times 2}+\dfrac{b_3}{2\times 3}+\cdots +\dfrac{b_n}{2n}$（$n\in \mathbb N^*$）．求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．标注答案$T_n=\begin{cases}0,&n=1,\\ 2n^2+2n,&n\geqslant 2.\end{cases}$解析因为$$a_n=\dfrac{b_1}{2\times 1}+\dfrac{b_2}{2\times 2}+\cdots +\dfrac{b_n}{2n},$$所以 $n=1$ 时，$$a_1=\dfrac {b_1}{2\times 1}.$$当 $n\geqslant 2$ 时，$$a_n-a_{n-1}=\dfrac{b_n}{2n}.$$即$$b_n=2n(a_n-a_{n-1}),(n\geqslant 2).$$故\[b_1=0,b_2=12,\]当 $n\geqslant 3$ 时，$$b_n=4n.$$所以$$b_n=\begin{cases}0,&n=1,\\12,&n=2,\\4n,&n\geqslant 3.\end{cases}$$设 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则$$T_1=b_1=0,T_2=b_1+b_2=12.$$当 $n\geqslant 3$ 时，\[\begin{split}T_n&=0+12+4\cdot 3+4\cdot 4+\cdots +4n\\&=12+4\cdot \dfrac{(3+n)(n-2)}{2}\\&=2n^2+2n,\end{split}\]综上，$$T_n=\begin{cases}0,&n=1,\\ 2n^2+2n,&n\geqslant 2.\end{cases}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
