题目 已知函数 $f(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x(1+\lambda x)}{1+x}$． 问题1 若 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\leqslant 0$，求 $\lambda$ 的最小值； 答案1 $\dfrac 12$ 解析1 对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac x{(1+x)^2}[-\lambda x+(1-2\lambda)],$$又 $f(0)=0$，所以 $\lambda$ 的讨论分界点为 $\lambda=0,\dfrac12$．<br/><case>情形一</case> $\lambda\leqslant 0$．此时 $f'(x)>0$，于是 $f(x)$ 单调递增，当 $x\geqslant 0$ 时有\[f(x)>f(0)=0,\]不符合题意．<br/><case>情形二</case> $0<\lambda<\dfrac 12$．此时在 $\left(0,\dfrac{1-2\lambda}{\lambda}\right)$ 上，有 $f'(x)>0$，于是在此区间上 $f(x)$ 单调递减，进而\[f(x)>f(0)=0,\]不符合题意．<br/><case>情形三</case> $\lambda=\dfrac 12$．此时当 $x\geqslant 0$ 时，有\[f'(x)=-\dfrac{x^2}{2(1+x)^2}\leqslant 0,\]于是 $f(x)$ 单调递减，因此\[f(x)\geqslant f(0)=0,\]符合题意．<br/>综上所述，$\lambda$ 的最小值为 $\dfrac 12$． 备注1 问题2 设数列 $\{a_n\}$ 的通项是 $a_n=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n$，证明：$a_{2n}-a_n+\dfrac 1{4n}>\ln2$． 答案2 略 解析2 只需要证明$$\dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{n+2}+\cdots +\dfrac 1{2n}+\dfrac 1{4n}>\ln2.$$也即\[\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}>\ln 2+\dfrac 3{4n},\]考虑函数 $g(x)=\dfrac 1x$ 是单调递减的下凸函数，于是利用积分放缩可得\[\begin{split}\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k}&>\int_{n}^{2n}g(x){ {\rm d}} x+\dfrac{g(n)+g(2n)}2\\<br/>&=\ln (2n)-\ln n+\dfrac{\dfrac1{n}+\dfrac{1}{2n}}{2}\\<br/>&=\ln 2+\dfrac{3}{4n},\end{split}\]因此原命题得证． 备注2