题目 已知 $x>0$，考虑方程 $a^x=x^a$，其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$． 问题1 若方程只有一个实数解，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $(0,1)\cup\left\{ {\rm e}\right\}$ 解析1 方程 $a^x=x^a$ 等价于$$\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln a}{a},$$于是当 $a={\rm e}$ 或 $0<a<1$ 时方程只有一个实数解．<br/>因此 $a$ 的取值范围是 $(0,1)\cup\left\{ {\rm e}\right\}$． 备注1 问题2 若方程有两个实数解 $x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>2{\rm e}$． 答案2 略 解析2 根据第 $(1)$ 小题，可得 $\dfrac{\ln a}a\in \left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．由于$$\begin{cases} a\ln x_1=x_1\ln a,\\ a\ln x_2=x_2\ln a,\end{cases}$$于是$$a\left(\ln x_1-\ln x_2\right)=(x_1-x_2)\ln a,$$从而根据对数平均不等式$$\dfrac{x_1+x_2}2>\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac{a}{\ln a}>{\rm e},$$原命题得证． 备注2 每日一题[768]构造函数看方程．