函数 $f(x)=(x-a)^2(x+b){\rm e}^x$，其中 $a,b\in\mathbb R$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $a=0$，$b=-3$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；标注答案函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\sqrt 6,0\right)$ 和 $\left(\sqrt 6,+\infty\right)$；单调递减区间是 $\left(-\infty,-\sqrt 6\right )$ 和 $\left(0,\sqrt 6\right)$解析根据题意，有\[f'(x)={\rm e}^x\cdot\left[2(x-a)(x+b)+(x-a)^2+(x-a)^2(x+b)\right],\]即\[f'(x)={\rm e}^x\cdot(x-a)\cdot \left[x^2+(-a+b+3)x-ab-a+2b\right],\]关于 $x$ 的方程\[x^2+(-a+b+3)x-ab-a+2b=0\]的判别式\[\Delta=(-a+b+3)^2-4(-ab-a+2b)=(a+b-1)^2+8.\]当 $a=0$，$b=-3$ 时，有\[f'(x)={\rm e}^x\cdot x\cdot \left(x^2-6\right),\]于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\sqrt 6,0\right)$ 和 $\left(\sqrt 6,+\infty\right)$；函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(-\infty,-\sqrt 6\right )$ 和 $\left(0,\sqrt 6\right)$．
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当 $a=0$ 时，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $b$ 的取值范围；标注答案$(-\infty,0)$解析当 $a=0$ 时，有\[f'(x)={\rm e}^x\cdot x\cdot \left[x^2+(b+3)x+2b\right],\]由于 $\Delta>0$，于是问题等价于关于 $x$ 的方程\[x^2+(b+3)x+2b=0\]的两根分别位于 $x=0$ 两侧，因此 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,0)$．
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若 $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点，设 $x_1,x_2,x_3$ 是 $f(x)$ 的 $3$ 个极值点．是否存在实数 $b$ 和 $x_4$，使得 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的某个排列构成等差数列？若存在，求出所有的 $b$ 和对应的 $x_4$；若不存在，请说明理由．标注答案存在，$(b,x_4)=\left(\dfrac{-7-\sqrt{13}}2-a,\dfrac{1+\sqrt{13}}2+a\right),\left(\dfrac{-7+\sqrt{13}}2-a,\dfrac{1-\sqrt{13}}2+a\right),\left(-3-a,\pm 2\sqrt 6+a\right)$解析根据题意，不妨设\[x_1=\dfrac {a-b-3-\sqrt {\Delta}}2,x_2=\dfrac{a-b-3+\sqrt{\Delta}}2,x_3=a,\]记 $a=(1-\lambda)x_1+\lambda x_2$，因为 $a$ 为极大值点，所以 $a\in(x_1,x_2)$，从而 $\lambda$ 的所有可能取值为 $\dfrac 13,\dfrac 12,\dfrac 23$，如图．
此时对应的方程为\[a=(1-\lambda)\cdot \dfrac {a-b-3-\sqrt {\Delta}}2+\lambda \cdot \dfrac{a-b-3+\sqrt{\Delta}}2,\]即\[(a+b-1)+4=(2\lambda -1)\sqrt{(a+b-1)^2+8},\]也即\[\left(\lambda^2-\lambda\right)t^2-2t+8\left(\lambda^2-\lambda\right)-2=0,\]解得\[t=\dfrac{1\pm \sqrt{-8m^2+2m+1}}m,\]其中 $t=a+b-1$，$m=\lambda^2-\lambda $．而 $m$ 的所有可能取值为 $-\dfrac 29,-\dfrac 14$，于是所有可能的解为\[(\lambda,m,t)=\left(\dfrac 13,-\dfrac 29,\dfrac{-9-\sqrt{13}}2\right),\left(\dfrac 23,-\dfrac 29,\dfrac{-9+\sqrt{13}}2\right),\left(\dfrac 12,-\dfrac 14,-4\right),\]对应的 $b$ 和 $x_4$ 分别为\[(b,x_4)=\left(\dfrac{-7-\sqrt{13}}2-a,\dfrac{1+\sqrt{13}}2+a\right),\left(\dfrac{-7+\sqrt{13}}2-a,\dfrac{1-\sqrt{13}}2+a\right),\left(-3-a,\pm 2\sqrt 6+a\right).\]注意在第一，二种情况下，$a+x_4=x_1+x_2=a-b-3$，在第三种情况下，$|x_4-a|=x_2-x_1=\sqrt{\Delta}=\sqrt{t^2+8}=2\sqrt 6$，由此可快速解出 $x_4$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
