设函数 $f(x)$ 满足下列条件：
① $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数；
② 对任意的 $x_1,x_2 \in [1,a]$（其中常数 $a>1$），当 $x_2>x_1$ 时，有 $f(x_2)>f(x_1)>0$．
则下列不等式一定成立的是 \((\qquad)\)
① $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数；
② 对任意的 $x_1,x_2 \in [1,a]$（其中常数 $a>1$），当 $x_2>x_1$ 时，有 $f(x_2)>f(x_1)>0$．
则下列不等式一定成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
ABD
【解析】
由题意知 $f(x)$ 在 $[1,a]$ 上单调递增，且 $f(1)>0$．
因为 $f\left( 0 \right) = 0$，所以选项 A 正确；
因为 $a > 1$ 时，有\[\dfrac{{1 + a}}{2} > \sqrt a ,\]所以选项 B 正确；
因为 $f\left( x \right)$ 是奇函数，所以\[f\left({\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right)> f\left({ - 3} \right),\]也即\[f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( 3 \right),\]虽然\[1<\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}} < 3 ,\]但 $a$ 与 $3$ 的大小关系不确定，所以选项 C 不正确；
因为 $ f\left( x \right) $ 是奇函数，所以\[ f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right) ,\]即\[f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( a \right),\]而$$ \dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}-1=\dfrac {2(a-1)}{a+1}>0,\dfrac {3a-1}{a+1}-a=-\dfrac {(a-1)^2}{a+1}<0,$$所以\[1<\dfrac {3a-1}{a+1}<a,\]所以选项 D 正确．
因为 $f\left( 0 \right) = 0$，所以选项 A 正确；
因为 $a > 1$ 时，有\[\dfrac{{1 + a}}{2} > \sqrt a ,\]所以选项 B 正确；
因为 $f\left( x \right)$ 是奇函数，所以\[f\left({\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right)> f\left({ - 3} \right),\]也即\[f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( 3 \right),\]虽然\[1<\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}} < 3 ,\]但 $a$ 与 $3$ 的大小关系不确定，所以选项 C 不正确；
因为 $ f\left( x \right) $ 是奇函数，所以\[ f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right) ,\]即\[f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( a \right),\]而$$ \dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}-1=\dfrac {2(a-1)}{a+1}>0,\dfrac {3a-1}{a+1}-a=-\dfrac {(a-1)^2}{a+1}<0,$$所以\[1<\dfrac {3a-1}{a+1}<a,\]所以选项 D 正确．
题目
答案
解析
备注
