已知二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathbb N^*$，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 14,\dfrac 14\right)$ 上有两个零点，求 $a+b+c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$41$
【解析】
根据题意，考虑到 $f(0)=c>0$，于是条件等价于$$\begin{cases}-\dfrac 14<-\dfrac b{2a}<0,\\ \dfrac a{16}-\dfrac b4+c>0,\\ b^2-4ac>0,\end{cases}$$即$$2b<a,\dfrac{4b-a}{16}<c<\dfrac{b^2}{4a}.$$下面证明 $a+b+c$ 的最小值为 $41$，当 $(a,b,c)=(29,11,1)$ 时取得．
由于 $c$ 是正整数，于是$$\dfrac{b^2}{4a}> 1,$$从而$$\dfrac 12a>b> 2\sqrt{a},$$这样就得到了 $a>16$，进而$$b> 2\sqrt{a}>8,$$于是 $b\geqslant 9$，而 $a>2b\geqslant 18$，于是 $a\geqslant 19$．
当 $b\geqslant 13$ 时，有$$a+b+c>\dfrac{20b+15a}{16}\geqslant \dfrac{50b+15}{16}>41.$$当 $9\leqslant b\leqslant 12$ 时，有$$\dfrac{b^2}{4a}\leqslant \dfrac{12^2}{4\cdot 19}<2,$$于是 $c=1$，且$$4b-16<a<\dfrac 14b^2.$$容易验证当 $b=9,10$ 时，无解；当 $b=11$ 时，$(a,b,c)=(29,11,1)$；
当 $b=12$ 时，$a+b+c$ 的最小值当 $(a,b,c)=(33,12,1)$ 时取得．
综上所述，$a+b+c$ 的最小值为 $41$，当 $(a,b,c)=(29,11,1)$ 时取得．
由于 $c$ 是正整数，于是$$\dfrac{b^2}{4a}> 1,$$从而$$\dfrac 12a>b> 2\sqrt{a},$$这样就得到了 $a>16$，进而$$b> 2\sqrt{a}>8,$$于是 $b\geqslant 9$，而 $a>2b\geqslant 18$，于是 $a\geqslant 19$．
当 $b\geqslant 13$ 时，有$$a+b+c>\dfrac{20b+15a}{16}\geqslant \dfrac{50b+15}{16}>41.$$当 $9\leqslant b\leqslant 12$ 时，有$$\dfrac{b^2}{4a}\leqslant \dfrac{12^2}{4\cdot 19}<2,$$于是 $c=1$，且$$4b-16<a<\dfrac 14b^2.$$容易验证当 $b=9,10$ 时，无解；当 $b=11$ 时，$(a,b,c)=(29,11,1)$；
当 $b=12$ 时，$a+b+c$ 的最小值当 $(a,b,c)=(33,12,1)$ 时取得．
综上所述，$a+b+c$ 的最小值为 $41$，当 $(a,b,c)=(29,11,1)$ 时取得．
答案
解析
备注
