已知棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的中心为 $O$，$P$ 是正方体表面上一点，且直线 $OP$ 与直线 $AB_1$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}4$，求 $OP$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[1,\dfrac 32\right]$
【解析】
如图，设 $M,N,P,Q$ 分别为 $B_1C_1,AD,A_1D_1,BC$ 的中点，则 $P$ 点的轨迹是以 $MN$ 为轴，$O$ 点为母线与轴的公共点，$\alpha=\dfrac{\pi}4$ 的圆锥面被正方体的表面截得的截线．根据对称性，只需要考虑平面 $A_1C_1$ 与平面 $CD_1$ 截圆锥面形成的截线．
显然 $EF,GH$ 是圆锥面的两条母线，作与 $EF,GH,MP$ 均相切的圆，设该圆与 $MP$ 相切于 $K$．考虑圆锥面的轴 $MN$ 与平面 $A_1C_1$ 形成的线面角大小 $\beta_1=\dfrac{\pi}4$，于是平面 $A_1C_1$ 上的截线为抛物线 $ST$，且以 $K$ 为焦点，以底面 $A_1C_1$ 的中心 $E$ 为顶点．容易求得 $S,T$ 为边 $C_1D_1,B_1A_1$ 的靠近点 $C_1,B_1$ 的四等分点．
类似的，由于圆锥面的轴 $MN$ 与平面 $C_1D$ 形成的线面角大小 $\beta_2=0$，于是平面 $C_1D$ 上的截线为离心率等于 $\sqrt 2$ 的双曲线．显然双曲线与棱的公共点亦为抛物线与棱的公共点，不难得知所求的取值范围即 $\left[OE,OS\right]$，即 $\left[1,\dfrac 32\right]$．
显然 $EF,GH$ 是圆锥面的两条母线，作与 $EF,GH,MP$ 均相切的圆，设该圆与 $MP$ 相切于 $K$．考虑圆锥面的轴 $MN$ 与平面 $A_1C_1$ 形成的线面角大小 $\beta_1=\dfrac{\pi}4$，于是平面 $A_1C_1$ 上的截线为抛物线 $ST$，且以 $K$ 为焦点，以底面 $A_1C_1$ 的中心 $E$ 为顶点．容易求得 $S,T$ 为边 $C_1D_1,B_1A_1$ 的靠近点 $C_1,B_1$ 的四等分点．类似的，由于圆锥面的轴 $MN$ 与平面 $C_1D$ 形成的线面角大小 $\beta_2=0$，于是平面 $C_1D$ 上的截线为离心率等于 $\sqrt 2$ 的双曲线．显然双曲线与棱的公共点亦为抛物线与棱的公共点，不难得知所求的取值范围即 $\left[OE,OS\right]$，即 $\left[1,\dfrac 32\right]$．
答案
解析
备注
