题目 设 $a_n=n(n+1)\cdot 2^n$，$n\in\mathbb N^*$． 问题1 求证：$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}<1$； 答案1 略 解析1 由于$$\dfrac{n+2}{a_n}=\dfrac{n+2}{n(n+1)\cdot 2^n}=\dfrac{1}{n\cdot 2^{n-1}}-\dfrac{1}{(n+1)\cdot 2^n},$$于是$$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}=1-\dfrac{1}{(n+1)\cdot 2^n}<1,$$原命题得证． 备注1 问题2 求证：$\dfrac{4}{a_1}+\dfrac{5}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+3}{a_n}<\dfrac 43$． 答案2 略 解析2 由于$$\dfrac{n+3}{n(n+1)\cdot 2^n}<\dfrac{1}{\left(n-\dfrac 14\right)\cdot 2^{n-1}}-\dfrac{1}{\left(n+\dfrac 34\right)\cdot 2^n},$$于是$$\dfrac{4}{a_1}+\dfrac{5}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+3}{a_n}<\dfrac 43-\dfrac{1}{\left(n+\dfrac 34\right)\cdot 2^n}<\dfrac 43,$$原命题得证． 备注2 每日一题[785]求和放缩．