题目 已知 $f(x)=\ln x-x^2+x$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$，单调递减区间是 $(1,+\infty)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{2x+1}x\cdot (1-x),$$于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$，单调递减区间是 $(1,+\infty)$． 备注1 问题2 证明：当 $a\geqslant 2$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f(x)<\left(\dfrac a2-1\right)x^2+ax-1$ 恒成立； 答案2 略 解析2 记 $g(x)=f(x)-\left(\dfrac a2-1\right)x^2-ax+1$，则$$g(x)=\ln x-\dfrac a2x^2+(1-a)x+1,x>0,$$其导函数$$g'(x)=\dfrac{x+1}x\cdot (1-ax),$$于是$$g(x)\leqslant g\left(\dfrac 1a\right)=-\ln a+\dfrac{1}{2a},$$由要证 $-\ln a+\dfrac 1{2a}<0$ 对 $a\geqslant 2$ 恒成立．记函数 $\varphi(a)=-\ln a+\dfrac 1{2a}$，其中 $a\geqslant 2$，则其导函数$$\varphi'(a)=-\dfrac{2a+1}{2a^2}<0,$$于是 $\varphi(a)$ 单调递减，进而有$$\varphi(a)\leqslant \varphi(2)=-\ln 2+\dfrac 14=\dfrac{\ln\dfrac{\rm e}{16}}4<0,$$于是原命题得证． 备注2 事实上，只需要证明 $a=2$ 的情形即可． 问题3 若正实数 $x_1,x_2$ 满足$$f(x_1)+f(x_2)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=0,$$证明：$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$． 答案3 略 解析3 根据已知条件，可得$$\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-1=-1+x_1x_2-\ln x_1x_2.$$设 $\mu(x)=-1+x-\ln x$，则其导函数$$\mu'(x)=\dfrac{x-1}{x},$$于是可得 $\mu(x)$ 的最小值为 $\mu(1)=0$，因此$$\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-1\geqslant 0,$$解得 $x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$． 备注3 每日一题[787]按需构造．