是否存在正整数 $a$，使得 ${\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x$ 对一切 $x>0$ 恒成立？若存在，求出 $a$ 的最大值；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
令 $x=2$，可得\[{\rm e}^2-2a\geqslant 4\ln 2,\]于是 $a\leqslant \dfrac 12{\rm e}^2-2\ln 2<3$．下面证明 $a=2$ 时符合题意，只需要证\[\forall x>0,{\rm e}^x-2x\geqslant x^2\ln x,\]也即\[\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\dfrac {2}{x}-\ln x>0.\]令 $\varphi(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\dfrac {2}{x}-\ln x$，则\[\varphi'(x)=\dfrac{(x-2)({\rm e}^x-x)}{x^3},\]于是 $\varphi(x)$ 的极小值，亦为最小值为\[\varphi(2)=\dfrac 14{\rm e}^2-1-\ln 2>0,\]符合题意．
综上所述，正整数 $a$ 的最大值为 $2$．
综上所述，正整数 $a$ 的最大值为 $2$．
答案
解析
备注
