已知关于 $x$ 的方程 $x^3-3x+4=0$ 的三个根分别为 $a,b,c$，求 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pm 18{\rm i}$
【解析】
由于\[M=(a-b)(b-c)(c-a)=\sum ab^2-\sum a^2b,\]于是\[\begin{split}M^2&=\left(\sum ab^2\right)^2+\left(\sum {a^2b}\right)^2-2\sum ab^2\cdot \sum a^2b\\
&=\sum \left(a^4b^2+a^2b^4\right)+2\sum \left(a^2b^3c+a^3b^2c\right)-2\sum a^3b^3-2\sum a^2b^2c^2-2\sum a^4bc \\
&=p^2q^2-2q^3+4pqr-3r^2-3p^3r+2\left(pqr-3r^2\right)-2\left[\left(q^3-3pqr+3r^2\right)+3r^2+\left(p^3r-3pqr+3r^2\right)\right]\\
&=p^2q^2-4q^3+18pqr-27r^2-4p^3r,\end{split}\]其中\[\begin{cases}p=a+b+c=0,\\ q=ab+bc+ca=-3,\\ r=abc=-4,\end{cases}\]因此可得 $M=\pm 18{\rm i}$．
&=\sum \left(a^4b^2+a^2b^4\right)+2\sum \left(a^2b^3c+a^3b^2c\right)-2\sum a^3b^3-2\sum a^2b^2c^2-2\sum a^4bc \\
&=p^2q^2-2q^3+4pqr-3r^2-3p^3r+2\left(pqr-3r^2\right)-2\left[\left(q^3-3pqr+3r^2\right)+3r^2+\left(p^3r-3pqr+3r^2\right)\right]\\
&=p^2q^2-4q^3+18pqr-27r^2-4p^3r,\end{split}\]其中\[\begin{cases}p=a+b+c=0,\\ q=ab+bc+ca=-3,\\ r=abc=-4,\end{cases}\]因此可得 $M=\pm 18{\rm i}$．
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