已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$，$F_1,F_2$ 是 $E$ 的左、右焦点，$AB$ 是过 $F_1$ 的焦点弦，且 $\triangle AF_2B$ 的面积为 $32$，求 $|AB|$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$16$
【解析】
设 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则\[|AB|=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},\]其中 $a^2=81$，$b^2=32$，$c^2=49$，因此 $\triangle AF_2B$ 的面积\[\begin{split}
S&=\dfrac 12\cdot \sin\theta \cdot |F_1F_2|\cdot |AB|\\
&=\dfrac 12\cdot \sin \theta \cdot 14 \cdot \dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}\\
&=\dfrac{4032\sin\theta}{32+49\sin^2\theta}\\
&=32,
\end{split}\]解得 $\sin\theta =\dfrac{2}{7}$，于是\[|AB|=\dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}=16.\]
S&=\dfrac 12\cdot \sin\theta \cdot |F_1F_2|\cdot |AB|\\
&=\dfrac 12\cdot \sin \theta \cdot 14 \cdot \dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}\\
&=\dfrac{4032\sin\theta}{32+49\sin^2\theta}\\
&=32,
\end{split}\]解得 $\sin\theta =\dfrac{2}{7}$，于是\[|AB|=\dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}=16.\]
答案
解析
备注
