求函数 $f(x)=x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$ 在 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 上的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
根据题意，有\[f'(x)=2+\ln (x-x^2),\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 先单调递减，再单调递增．考虑到\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=f\left(\dfrac 12\right)=0,\]于是 $f(x)$ 的最大值为 $0$，当 $x=\dfrac 12$ 时取得．
答案
解析
备注
