已知 $0<x<1$，求证：$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt 2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记不等式左边为 $g(x)$，则显然 $g(x)$ 关于 $x=\dfrac 12$ 对称，且 $g\left(\dfrac 12\right)=\sqrt 2$，因此只需要证明函数 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right]$ 上的最大值为 $g\left(\dfrac 12\right)$ 即可．令 $h(x)=x^{1-x}$，则\[h'(x)=\left({\rm e}^{(1-x)\ln x}\right)'=x^{1-x}\cdot \left[-\ln x+(1-x)\cdot \dfrac 1x\right]=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}.\]这样就有\[\begin{split}g'(x)&=\left(h(x)+h(1-x)\right)'\\
&=h'(x)-h'(1-x)\\
&=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}-\dfrac{1-(1-x)-(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)^{1-x}},
\end{split}\]可得当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[x\ln x-(1-x)\ln (1-x)\leqslant 0,\]于是当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[-x\ln x\geqslant -(1-x)\ln (1-x),\]进而有\[1-x-x\ln x\geqslant 1-x-(1-x)\ln(1-x)\geqslant 1-(1-x)-(1-x)\ln(1-x).\]而当 $0<x<1$ 时，有\[1-x-x\ln x>0,\]这样就得到了当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[1-x-x\ln x\geqslant 1-(1-x)-(1-x)\ln(1-x)>0.\]另一方面，当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[{\rm e}^{x\ln x}\leqslant {\rm e}^{(1-x)\ln(1-x)},\]即\[0<x^x\leqslant (1-x)^{(1-x)}.\]综上，有当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时\[g'(x)=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}-\dfrac{1-(1-x)-(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)^{1-x}}\geqslant 0,\]进而可得 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right]$ 上的最大值为 $g\left(\dfrac 12\right)=\sqrt 2$，原命题得证．
&=h'(x)-h'(1-x)\\
&=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}-\dfrac{1-(1-x)-(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)^{1-x}},
\end{split}\]可得当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[x\ln x-(1-x)\ln (1-x)\leqslant 0,\]于是当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[-x\ln x\geqslant -(1-x)\ln (1-x),\]进而有\[1-x-x\ln x\geqslant 1-x-(1-x)\ln(1-x)\geqslant 1-(1-x)-(1-x)\ln(1-x).\]而当 $0<x<1$ 时，有\[1-x-x\ln x>0,\]这样就得到了当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[1-x-x\ln x\geqslant 1-(1-x)-(1-x)\ln(1-x)>0.\]另一方面，当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，有\[{\rm e}^{x\ln x}\leqslant {\rm e}^{(1-x)\ln(1-x)},\]即\[0<x^x\leqslant (1-x)^{(1-x)}.\]综上，有当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时\[g'(x)=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}-\dfrac{1-(1-x)-(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)^{1-x}}\geqslant 0,\]进而可得 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right]$ 上的最大值为 $g\left(\dfrac 12\right)=\sqrt 2$，原命题得证．
答案
解析
备注
