已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），点 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆 $E$ 内部一点，过 $P$ 作直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，设椭圆 $E$ 在 $A,B$ 处的切线交于点 $Q$，求 $Q$ 点的轨迹方程，并求 $\triangle QAB$ 面积的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ab\sqrt{\dfrac{(1-\kappa)^3}{\kappa}}$，其中 $\kappa=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}$
【解析】
设 $Q(m,n)$，则直线\[AB:\dfrac{mx}{a^2}+\dfrac{ny}{b^2}=1,\]因此\[\dfrac{mx_0}{a^2}+\dfrac{ny_0}{b^2}=1.\]这样我们就得到了点 $Q$ 的轨迹为直线 $l:\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$．
作仿射变换 $x'=x$，$y'=\dfrac aby$，则椭圆 $E$ 变为圆 $E':x'^2+y'^2=a^2$，此时 $P'\left(x_0,\dfrac aby_0\right)$，$Q'$ 点的轨迹变为直线 $l':x_0x'+\dfrac aby_0y'=a^2$，且有\[S_{\triangle Q'A'B'}=\dfrac abS_{\triangle QAB}.\]设 $Q'$ 到圆 $E'$ 的圆心 $O'$ 的距离为 $d$，则\[\begin{split} S_{\triangle Q'A'B'}=&\dfrac 12\sin\left(2\angle A'Q'O'\right)\cdot |Q'A'|^2\\=&\dfrac{a\cdot \sqrt{d^2-a^2}}{d^2}\cdot \left(d^2-a^2\right)\\=&a\cdot \sqrt{1-\dfrac{a^2}{d^2}}\cdot \left(d-\dfrac{a^2}{d}\right),\end{split} \]这个关于 $d$ 的函数单调递增，于是当 $d$ 取最小值 $\dfrac{a^2}{\sqrt{x_0^2+\dfrac {a^2}{b^2}y_0^2}}$ 时，$\triangle Q'A'B'$ 的面积取得最小值，对应的 $\triangle QAB$ 面积的最小值为\[\dfrac ba\cdot \sqrt{\dfrac{\left(a^2-x_0^2-\dfrac {a^2}{b^2}y_0^2\right)^3}{x_0^2+\dfrac{a^2}{b^2}y_0^2}}=ab\sqrt{\dfrac{(1-\kappa)^3}{\kappa}},\]其中 $\kappa=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}$．
作仿射变换 $x'=x$，$y'=\dfrac aby$，则椭圆 $E$ 变为圆 $E':x'^2+y'^2=a^2$，此时 $P'\left(x_0,\dfrac aby_0\right)$，$Q'$ 点的轨迹变为直线 $l':x_0x'+\dfrac aby_0y'=a^2$，且有\[S_{\triangle Q'A'B'}=\dfrac abS_{\triangle QAB}.\]设 $Q'$ 到圆 $E'$ 的圆心 $O'$ 的距离为 $d$，则\[\begin{split} S_{\triangle Q'A'B'}=&\dfrac 12\sin\left(2\angle A'Q'O'\right)\cdot |Q'A'|^2\\=&\dfrac{a\cdot \sqrt{d^2-a^2}}{d^2}\cdot \left(d^2-a^2\right)\\=&a\cdot \sqrt{1-\dfrac{a^2}{d^2}}\cdot \left(d-\dfrac{a^2}{d}\right),\end{split} \]这个关于 $d$ 的函数单调递增，于是当 $d$ 取最小值 $\dfrac{a^2}{\sqrt{x_0^2+\dfrac {a^2}{b^2}y_0^2}}$ 时，$\triangle Q'A'B'$ 的面积取得最小值，对应的 $\triangle QAB$ 面积的最小值为\[\dfrac ba\cdot \sqrt{\dfrac{\left(a^2-x_0^2-\dfrac {a^2}{b^2}y_0^2\right)^3}{x_0^2+\dfrac{a^2}{b^2}y_0^2}}=ab\sqrt{\dfrac{(1-\kappa)^3}{\kappa}},\]其中 $\kappa=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}$．
答案
解析
备注
