已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $2p$，求以 $\triangle ABC$ 的某条边所在的直线为轴构成的旋转体的体积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{12}p^3$
【解析】
设 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$．不妨设旋转体的轴过 $AB$，先固定边 $AB$ 的长 $c$，则 $C$ 点在以 $A,B$ 为焦点，$2p-c$ 为长轴长的椭圆上运动．
设 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $h$，则构成的旋转体\[V=\dfrac 13\pi h^2c.\]易知当 $a=b=p-\dfrac 12c$ 时，$h$ 取得最大值，因此有\[V\leqslant \dfrac 13\pi\left[\left(p-\dfrac 12c\right)^2-\left(\dfrac 12c\right)^2\right]c=\dfrac{\pi}3p(p-c)c\leqslant \dfrac{\pi}3p\left(\dfrac p2\right)^2=\dfrac{\pi}{12}p^3,\]等号当 $c=\dfrac p2$，$a=b=\dfrac 34p$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\pi}{12}p^3$．
设 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $h$，则构成的旋转体\[V=\dfrac 13\pi h^2c.\]易知当 $a=b=p-\dfrac 12c$ 时，$h$ 取得最大值，因此有\[V\leqslant \dfrac 13\pi\left[\left(p-\dfrac 12c\right)^2-\left(\dfrac 12c\right)^2\right]c=\dfrac{\pi}3p(p-c)c\leqslant \dfrac{\pi}3p\left(\dfrac p2\right)^2=\dfrac{\pi}{12}p^3,\]等号当 $c=\dfrac p2$，$a=b=\dfrac 34p$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\pi}{12}p^3$．
答案
解析
备注
