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已知圆周率 $\pi$ 是无理数，函数 $f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$，求证：$f(x)$ 不是周期函数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的周期性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的周期性
【答案】
略
【解析】
假设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，那么 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\cos x+\pi \cos(\pi x)\]也是周期为 $T$ 的周期函数．此时有\[\cos 0+\pi\cos(\pi \cdot 0)=\cos T+\pi \cos(\pi\cdot T),\]因此\[\cos T=1,\cos(\pi\cdot T)=1,\]进而\[T=2k_1\pi,\pi\cdot T=2k_2\pi,\]其中 $k_1,k_2$ 均为非零整数．此时有 $\pi=\dfrac{k_2}{k_1}$ 为有理数，矛盾．因此 $f(x)$ 不是周期函数．
答案 解析 备注
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