等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n>0$，且$$S_2\cdot S_3\cdots S_n=n(a_2^2-c)(a_3^2-c)\cdots (a_n^2-c),$$其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$．若 $a_n\leqslant\dfrac n2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则实数 $c$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，用连乘表示的条件等价于$$S_n=\dfrac{n}{n-1}\cdot (a_n^2-c),$$其中 $n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$，也即$$\forall n\geqslant 3\land n\in\mathbb N,(n-1)S_n=n(a_n^2-c).$$考虑到上述条件中的等式左右两边关于 $n$ 的三次多项式相同，而从左侧可以看出该三次多项式有零点 $1$，因此 $a_1^2=c$，因此$$\forall n\geqslant 2\land n\in\mathbb N,(n-1)S_n=n(a_n^2-a_1^2),$$即$$\forall n\geqslant 2\land n\in\mathbb N,(n-1)S_n=n(a_n+a_1)(a_n-a_1),$$考虑到 $n(a_n+a_1)=2S_n$，因此上述条件即$$\forall n\geqslant 2\land n\in\mathbb N,a_n=a_1+\dfrac{n-1}2,$$即公差为 $\dfrac 12$．
根据题中的另外两个条件：$S_n>0$ 以及 $a_n\leqslant \dfrac n2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），有 $a_1$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right]$．
因此 $c$ 的取值范围即 $a_1^2$ 的取值范围，为 $\left(0,\dfrac 14\right]$．
根据题中的另外两个条件：$S_n>0$ 以及 $a_n\leqslant \dfrac n2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），有 $a_1$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right]$．
因此 $c$ 的取值范围即 $a_1^2$ 的取值范围，为 $\left(0,\dfrac 14\right]$．
题目
答案
解析
备注
