求证：数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 收敛．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据二项式定理，有\[\begin{split}
\left(1+\dfrac 1n\right)^n&=1+{\rm C}_n^1\cdot \dfrac 1n+{\rm C}_n^2\cdot \dfrac 1{n^2}+\cdots+{\rm C}_n^n\cdot\dfrac{1}{n^n}\\
&=1+1+\dfrac 1{2!}\cdot \left(1-\dfrac 1n\right)+\cdots+\dfrac{1}{n!}\cdot \left(1-\dfrac 1n\right)\left(1-\dfrac 2n\right)\cdots\left(1-\dfrac {n-1}{n}\right),
\end{split}\]因此数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 单调递增．另一方面，有\[\begin{split}\left(1+\dfrac 1n\right)^n&<2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\\
&<2+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot n}\\
&<3,
\end{split}\]因此数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 有上界 $3$．综上所述，命题得证．
\left(1+\dfrac 1n\right)^n&=1+{\rm C}_n^1\cdot \dfrac 1n+{\rm C}_n^2\cdot \dfrac 1{n^2}+\cdots+{\rm C}_n^n\cdot\dfrac{1}{n^n}\\
&=1+1+\dfrac 1{2!}\cdot \left(1-\dfrac 1n\right)+\cdots+\dfrac{1}{n!}\cdot \left(1-\dfrac 1n\right)\left(1-\dfrac 2n\right)\cdots\left(1-\dfrac {n-1}{n}\right),
\end{split}\]因此数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 单调递增．另一方面，有\[\begin{split}\left(1+\dfrac 1n\right)^n&<2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\\
&<2+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot n}\\
&<3,
\end{split}\]因此数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 有上界 $3$．综上所述，命题得证．
答案
解析
备注
