抛物线 $S$ 的顶点在原点，焦点在 $x$ 轴的正半轴上，若直线 $x+y-1=0$ 与抛物线相交于 $A,B$ 两点，并且 $|AB|=\dfrac{8\sqrt6}{11}$．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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求抛物线 $S$ 的方程；标注答案$y^2=\dfrac{4}{11}x$解析$y^2=\dfrac{4}{11}x$
设抛物线 $S:y^2=2px,p>0$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，联立直线与抛物线，得$$y^2+2py-2p=0,$$因此，有韦达定理$$y_1+y_2=-2p , x_1x_2=-2p,$$根据弦长公式，得$$|AB|=\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}\cdot|y_1-y_2|=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{p^2+2p}=\dfrac{8\sqrt6}{11},$$解得 $p=\dfrac{2}{11}$，因此，抛物线 $S$ 的方程为 $y^2=\dfrac{4}{11}x$． -
抛物线 $S$ 上是否存在点 $C$，使得 $\triangle ABC$ 是等边三角形，若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在，$C\left(\dfrac{25}{11},\dfrac{10}{11}\right)$解析由第一问知，$AB$ 的中点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac{13}{11},-\dfrac{2}{11}\right)$，设 $C\left(\dfrac{11}{4}y^2,y\right)$，则根据题意，有$$\begin{cases}k_{CD}=1,\\|CD|=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot|AB|,\end{cases}$$代入，得$$\begin{cases}\dfrac{y+\dfrac{2}{11}}{\dfrac{11}{4}y^2-\dfrac{13}{11}}=1,\\\sqrt{\left(\dfrac{11}{4}y^2-\dfrac{13}{11}\right)^2+\left(y+\dfrac{2}{11}\right)^2}=\dfrac{12\sqrt2}{11}.\end{cases}$$解得 $y=\dfrac{10}{11}$，因此存在点 $C\left(\dfrac{25}{11},\dfrac{10}{11}\right)$ 使得 $\triangle ABC$ 是等边三角形．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
