已知椭圆 $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，过椭圆左顶点 $A\left( -a,0 \right)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $Q$，与 $y$ 轴交于 $R$，过原点与 $l$ 平行的直线与椭圆交于 $P$．求证：$AQ,\sqrt{2}OP,AR$ 成等比数列．
【难度】
【出处】
2009年清华大学保送生试题（理科）
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设过原点与 $l$ 平行的直线为 ${l}'$，$l$ 的斜率为 $k$，
则取 $\left( 1,k \right)$ 为直线 $l$ 与 ${l}'$ 共同的方向向量，则直线 $l$ 与 $l'$ 的参数方程为$$\begin{cases}x=-a+t \\ y=kt \end{cases}$$与$$\begin{cases}x=t \\ y=kt \end{cases}$$欲证结论为 ${{\left( \sqrt{2}{{t}_{p}} \right)}^{2}}={{t}_{Q}}\cdot {{t}_{R}}$，即$$2t_P^2={{t}_{R}}{{t}_{Q}},$$因为 $R$ 的横坐标为 $0$，于是 ${{t}_{R}}=a$；联立直线 $l$ 的参数方程与椭圆方程，有$$\dfrac{{{\left( t-a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{k}^{2}}{{t}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,$$解得$${{t}_{Q}}=\dfrac{2}{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{{{k}^{2}}}{{{b}^{2}}}}\cdot \dfrac{1}{a}.$$联立直线 ${l}'$ 的参数方程与椭圆方程，有$$\dfrac{{{t}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{k}^{2}}{{t}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,$$于是$${{t}_{P}}^{2}=\dfrac{1}{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{{{k}^{2}}}{{{b}^{2}}}}.$$显然，$2t_p^2={{t}_{Q}}\cdot {{t}_{R}}$ 成立，于是命题得证．
则取 $\left( 1,k \right)$ 为直线 $l$ 与 ${l}'$ 共同的方向向量，则直线 $l$ 与 $l'$ 的参数方程为$$\begin{cases}x=-a+t \\ y=kt \end{cases}$$与$$\begin{cases}x=t \\ y=kt \end{cases}$$欲证结论为 ${{\left( \sqrt{2}{{t}_{p}} \right)}^{2}}={{t}_{Q}}\cdot {{t}_{R}}$，即$$2t_P^2={{t}_{R}}{{t}_{Q}},$$因为 $R$ 的横坐标为 $0$，于是 ${{t}_{R}}=a$；联立直线 $l$ 的参数方程与椭圆方程，有$$\dfrac{{{\left( t-a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{k}^{2}}{{t}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,$$解得$${{t}_{Q}}=\dfrac{2}{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{{{k}^{2}}}{{{b}^{2}}}}\cdot \dfrac{1}{a}.$$联立直线 ${l}'$ 的参数方程与椭圆方程，有$$\dfrac{{{t}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{k}^{2}}{{t}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,$$于是$${{t}_{P}}^{2}=\dfrac{1}{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{{{k}^{2}}}{{{b}^{2}}}}.$$显然，$2t_p^2={{t}_{Q}}\cdot {{t}_{R}}$ 成立，于是命题得证．
答案
解析
备注
