证明：若 $f\left( {f\left( x \right)} \right)$ 有唯一不动点，则 $f\left( x \right)$ 也有唯一不动点．
【难度】
【出处】
2009年上海交通大学自主招生保送生测试数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$f(x)$ 的不动点一定是 $f(f(x))$ 的不动点，所以只需要证明 $f(x)$ 的不动点存在即可：
设 $a$ 为 $f(f(x))$ 的不动点，即 $f(f(a))=a$，令 $b=f(a)$，则有 $f(b)=a$，从而 $f(f(b))=f(a)=b$，所以 $b$ 也是 $f(f(x))$ 的不动点，而 $f(f(x))$ 的不动点唯一，所以 $a=b$，即 $f(a)=a$，所以 $a$ 也是 $f(x)$ 的不动点，即 $f(x)$ 存在不动点．
设 $a$ 为 $f(f(x))$ 的不动点，即 $f(f(a))=a$，令 $b=f(a)$，则有 $f(b)=a$，从而 $f(f(b))=f(a)=b$，所以 $b$ 也是 $f(f(x))$ 的不动点，而 $f(f(x))$ 的不动点唯一，所以 $a=b$，即 $f(a)=a$，所以 $a$ 也是 $f(x)$ 的不动点，即 $f(x)$ 存在不动点．
答案
解析
备注
