已知等比数列 $\{a_n\}$ 的首项 ${a_1} = 1025$，公比 $q = - \dfrac{1}{2}$，求 ${\Pi _n} = {a_1}{a_2} \cdots {a_n}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2009年上海交通大学自主招生保送生测试数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{{{{1025}^{12}}}}{{{2^{66}}}}$
【解析】
因为$${a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}},$$于是$${\Pi _n} = {a_1}{a_2} \cdots {a_n} = {a_1}^n \cdot {q^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}} = {1025^n} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}}.$$考虑$$\dfrac{{\left| {{\Pi _{n + 1}}} \right|}}{{\left| {{\Pi _n}} \right|}} = \dfrac{{{{1025}^{n + 1}} \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}}}{{{{1025}^n} \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}}}} = 1025 \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n},$$所以当 $n \leqslant 10$ 时，$$\left| {{\Pi _{n + 1}}} \right| > \left| {{\Pi _n}} \right|,$$当 $n \geqslant 11$ 时，$$\left| {{\Pi _{n + 1}}} \right| < \left| {{\Pi _n}} \right|.$$当 $n$ 模 $4$ 余 $0$ 或 $1$ 时，${\Pi _n} $ $ > 0 $；当 $ n $ 模 $ 4 $ 余 $ 2 $ 或 $ 3 $ 时，$ {\Pi _n}$ $ < 0 $．
所以只需要考虑 $ n $ 模 $ 4 $ 余 $ 0 $ 或 $ 1 $ 的情况，因此只需要比较 $ {\Pi _9} $ 和 $ {\Pi _{12}}$ 的大小．而$$\dfrac{{{\Pi _{12}}}}{{\Pi { _9}}} = \dfrac{{{{1025}^{12}} \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{66}}}}{{{{1025}^9} \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{36}}}} = {1025^3} \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{30}} > 1,$$所以$${\Pi _{12}} > {\Pi _9}.$$因此 ${\Pi _n}$ 的最大值为$${\Pi _{12}}= \dfrac{{{{1025}^{12}}}}{{{2^{66}}}}.$$
所以只需要考虑 $ n $ 模 $ 4 $ 余 $ 0 $ 或 $ 1 $ 的情况，因此只需要比较 $ {\Pi _9} $ 和 $ {\Pi _{12}}$ 的大小．而$$\dfrac{{{\Pi _{12}}}}{{\Pi { _9}}} = \dfrac{{{{1025}^{12}} \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{66}}}}{{{{1025}^9} \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{36}}}} = {1025^3} \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{30}} > 1,$$所以$${\Pi _{12}} > {\Pi _9}.$$因此 ${\Pi _n}$ 的最大值为$${\Pi _{12}}= \dfrac{{{{1025}^{12}}}}{{{2^{66}}}}.$$
答案
解析
备注
