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已知实数 $a,b>0$，$f(x)=ax^2+b$ 满足对于任意 $x,y\in\mathbb R$，$f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)\cdot f(y)$，求实数 $a,b$ 需要满足的条件．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    二次函数
【答案】
$0<a<1$，$0<b\leqslant 1$ 且 $2a+b\leqslant 2$
【解析】
必要性题中条件即\[\forall x,y\in\mathbb R,\left(a-a^2\right)x^2y^2+a(x+y)^2-ab\left(x^2+y^2\right)+2b-b^2\geqslant 0.\]令 $y=0$，可得\[\forall x\in\mathbb R,a(1-b)x^2+2b-b^2\geqslant 0,\]从而 $a(1-b)\geqslant 0$，因此 $b\in (0,1]$．
令 $y=-x$，可得\[\forall x\in\mathbb R,\left(a-a^2\right)x^4-2abx^2+2b-b^2\geqslant 0,\]从而 $a\in (0,1)$．
考虑到\[\left(a-a^2\right)x^4-2abx^2+2b-b^2=\left(a-a^2\right)\left(x^2-\dfrac{b}{1-a}\right)^2+\dfrac{b(2-2a-b)}{1-a},\]因此令 $x=\sqrt{\dfrac{b}{1-a}}$，可得 $2a+b\leqslant 2$．
充分性当 $0<a<1$，$0<b\leqslant 1$ 且 $2a+b\leqslant 2$ 时，有\[\begin{split}
f(xy)+f(x+y)-f(x)\cdot f(y)&=\left(a-a^2\right)x^2y^2+a(x+y)^2-ab\left(x^2+y^2\right)+2b-b^2\\
&\geqslant \left(a-a^2\right)x^2y^2-ab\cdot (-2xy)+2b-b^2\\
&=\left(a-a^2\right)\left(xy+\dfrac{b}{1-a}\right)^2+\dfrac{b(2-2a-b)}{1-a}\\
&\geqslant 0,
\end{split}\]符合题意．
综上所述，实数 $a,b$ 需要满足的条件是 $0<a<1$，$0<b\leqslant 1$ 且 $2a+b\leqslant 2$．
答案 解析 备注
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