已知抛物线 $x^2=2py(p>0)$ 的弦 $AB$ 的中点为 $M$，弦长为 $l$，求 $M$ 到 $x$ 轴距离 $h$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $0<l<2p$ 时，最小值为 $\dfrac{l^2}{8p}$；当 $l\geqslant 2p$ 时，最小值为 $\dfrac 12l-\dfrac 12p$
【解析】
设 $A\left(2pa,2pa^2\right)$，$B\left(2pb,2pb^2\right)$ 则\[\left(2pa-2pb\right)^2+\left(2pa^2-2pb^2\right)^2=l^2,\]即\[m^2\left(1+n^2\right)=\dfrac{l^2}{4p^2},\]其中 $m=\left|a-b\right|$，$n=\left|a+b\right|$．而\[\begin{split}h&=\dfrac p2\left(2a^2+2b^2\right)\\
&=\dfrac p2\left(m^2+n^2\right)\\
&=\dfrac p2\left(\dfrac{\dfrac{l^2}{4p^2}}{1+n^2}+1+n^2\right)-\dfrac p2
,\end{split}\]其中 $n\geqslant 0$，$n^2+1\geqslant 1$．于是当 $l\geqslant 2p$ 时，$h$ 的最小值为 $\dfrac l2-\dfrac p2$，当 $n=\sqrt{\dfrac l{2p}-1}$ 时取得；当 $0<l<2p$ 时，$h$ 的最小值为 $\dfrac{l^2}{8p}$，当 $n=0$ 时取得．
&=\dfrac p2\left(m^2+n^2\right)\\
&=\dfrac p2\left(\dfrac{\dfrac{l^2}{4p^2}}{1+n^2}+1+n^2\right)-\dfrac p2
,\end{split}\]其中 $n\geqslant 0$，$n^2+1\geqslant 1$．于是当 $l\geqslant 2p$ 时，$h$ 的最小值为 $\dfrac l2-\dfrac p2$，当 $n=\sqrt{\dfrac l{2p}-1}$ 时取得；当 $0<l<2p$ 时，$h$ 的最小值为 $\dfrac{l^2}{8p}$，当 $n=0$ 时取得．
答案
解析
备注
