在 $\triangle ABC$ 中，求 $m=\sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt 3}2$
【解析】
在 $\triangle ABC$ 中，有\[\begin{split}m&=\sin A+\sin B+\sin (A+B)\\
&=\sin A+\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B\\
&=(1+\cos B)\sin A +\sin B\cos A+\sin B\\
&\leqslant \sqrt{(1+\cos B)^2+\sin ^2B}+\sin B\\
&=\sqrt {2(1+\cos B)}+\sin B\\
&=2\cos\dfrac B2+2\sin \dfrac B2\cos\dfrac B2\\
&=2\cos\dfrac B2\left(1+\sin \dfrac B2\right)\\
&=2\sqrt{\left(1-\sin^2\dfrac B2\right)\left(1+\sin\dfrac B2\right)^2}\\
&=2\cdot \dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \sqrt{\left(3-3\sin \dfrac B2\right)\left(1+\sin \dfrac B2\right)\left(1+\sin \dfrac B2\right)\left(1+\sin \dfrac B2\right)}\\
&\leqslant 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 64\right)^4}\\
&=\dfrac{3\sqrt 3}2
,\end{split}\]等号当 $(A,B)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$ 时可以取得．因此所求 $m$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．
&=\sin A+\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B\\
&=(1+\cos B)\sin A +\sin B\cos A+\sin B\\
&\leqslant \sqrt{(1+\cos B)^2+\sin ^2B}+\sin B\\
&=\sqrt {2(1+\cos B)}+\sin B\\
&=2\cos\dfrac B2+2\sin \dfrac B2\cos\dfrac B2\\
&=2\cos\dfrac B2\left(1+\sin \dfrac B2\right)\\
&=2\sqrt{\left(1-\sin^2\dfrac B2\right)\left(1+\sin\dfrac B2\right)^2}\\
&=2\cdot \dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \sqrt{\left(3-3\sin \dfrac B2\right)\left(1+\sin \dfrac B2\right)\left(1+\sin \dfrac B2\right)\left(1+\sin \dfrac B2\right)}\\
&\leqslant 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 64\right)^4}\\
&=\dfrac{3\sqrt 3}2
,\end{split}\]等号当 $(A,B)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$ 时可以取得．因此所求 $m$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．
答案
解析
备注
