已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac a2x^2-x$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，求证：$\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}>2a{\rm e}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\ln x-ax,$$于是$$\ln x_1-ax_1=\ln x_2-ax_2=0,$$即\[\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=a.\]令 $\varphi(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},\]于是可得 $0<a<\dfrac{1}{\rm e}$，且 $x_1,x_2$ 分别在 $x={\rm e}$ 的两侧．因此\[\begin{split}\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}&=\dfrac{1}{ax_1}+\dfrac{1}{ax_2} \\
&=\dfrac{x_1+x_2}{2}\cdot \dfrac{2}{ax_1x_2}\\
&> \dfrac{2}{a\sqrt{x_1x_2}} \\
&> \dfrac 2a\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}\\
&= 2>2a{\rm e},\end{split}\]原不等式得证．
&=\dfrac{x_1+x_2}{2}\cdot \dfrac{2}{ax_1x_2}\\
&> \dfrac{2}{a\sqrt{x_1x_2}} \\
&> \dfrac 2a\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}\\
&= 2>2a{\rm e},\end{split}\]原不等式得证．
答案
解析
备注
