已知平面四边形 $ABCD$ 的四边长分别为 $AB=a$，$BC=b$，$CD=c$，$DA=d$，且 $\cos (A+C)=\cos (B+D)=m$，求四边形 $ABCD$ 的面积 $S$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2d^2+2d^2a^2+2a^2c^2+2b^2d^2-\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-8abcdm}$
【解析】
连接 $BD$，应用余弦定理有\[BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2-2bc\cos C,\]即\[2ad\cos A-2bc\cos C=a^2-b^2-c^2+d^2.\]
又\[S=\dfrac 12ad\sin A+\dfrac 12bc\sin C,\]即\[2ad\sin A+2bc\sin C=4S.\]两式平方相加，有\[4a^2d^2+4b^2c^2-8abcd\cos(A+C)=\left(a^2-b^2-c^2+d^2\right)^2+16S^2,\]即\[S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2d^2+2d^2a^2+2a^2c^2+2b^2d^2-\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-8abcdm}.\]
又\[S=\dfrac 12ad\sin A+\dfrac 12bc\sin C,\]即\[2ad\sin A+2bc\sin C=4S.\]两式平方相加，有\[4a^2d^2+4b^2c^2-8abcd\cos(A+C)=\left(a^2-b^2-c^2+d^2\right)^2+16S^2,\]即\[S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2d^2+2d^2a^2+2a^2c^2+2b^2d^2-\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-8abcdm}.\]
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