设正数 $x,y$ 满足 $xy=1$，求 $m=\dfrac{x+y}{[x]\cdot[y]+[x]+[y]+1}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left\{\dfrac 12\right\}\cup\left[\dfrac 56,\dfrac 54\right)$
【解析】
不妨设 $x\geqslant 1$，当 $x=1$ 时，$m=\dfrac 12$；
当 $1<x< 2$ 时，有\[m=\dfrac 12\left(x+\dfrac 1x\right),\]取值范围是 $\left(1,\dfrac 54\right)$；
当 $x\geqslant 2$ 时，设 $k\leqslant x<k+1$，$k\in\mathbb N^*$ 且 $k\geqslant 2$，则有\[m=\dfrac{x+\dfrac 1x}{k+1},\]考虑到对勾函数的单调性，$m$ 取值范围是 $\left[\dfrac{k+\dfrac 1k}{k+1},\dfrac{k+1+\dfrac{1}{k+1}}{k+1}\right)$，即 $\left[\dfrac{k^2+1}{k^2+k},\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}\right)$．
注意到一方面当 $k\geqslant 3$ 时，$\dfrac{k^2+1}{k^2+k}$ 随 $k$ 单调递增，且当 $k=2$ 与 $k=3$ 时，均有 $\dfrac{k^2+1}{k^2+k}=\dfrac 56$；
另一方面，$\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}$ 随 $k$ 单调递减，于是\[\bigcup_{k=2}^{\infty}\left[\dfrac{k^2+1}{k^2+k},\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}\right)=\left[\dfrac 56,\dfrac {10}{9}\right).\]综上所述，所求 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}\cup\left[\dfrac 56,\dfrac 54\right)$．
当 $1<x< 2$ 时，有\[m=\dfrac 12\left(x+\dfrac 1x\right),\]取值范围是 $\left(1,\dfrac 54\right)$；
当 $x\geqslant 2$ 时，设 $k\leqslant x<k+1$，$k\in\mathbb N^*$ 且 $k\geqslant 2$，则有\[m=\dfrac{x+\dfrac 1x}{k+1},\]考虑到对勾函数的单调性，$m$ 取值范围是 $\left[\dfrac{k+\dfrac 1k}{k+1},\dfrac{k+1+\dfrac{1}{k+1}}{k+1}\right)$，即 $\left[\dfrac{k^2+1}{k^2+k},\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}\right)$．
注意到一方面当 $k\geqslant 3$ 时，$\dfrac{k^2+1}{k^2+k}$ 随 $k$ 单调递增，且当 $k=2$ 与 $k=3$ 时，均有 $\dfrac{k^2+1}{k^2+k}=\dfrac 56$；
另一方面，$\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}$ 随 $k$ 单调递减，于是\[\bigcup_{k=2}^{\infty}\left[\dfrac{k^2+1}{k^2+k},\dfrac{k^2+2k+2}{k^2+2k+1}\right)=\left[\dfrac 56,\dfrac {10}{9}\right).\]综上所述，所求 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}\cup\left[\dfrac 56,\dfrac 54\right)$．
答案
解析
备注
