由于\[0<\cos x<\dfrac{\pi}2-\sin x<\dfrac{\pi}2,\]于是\[\cos(\cos x)>\cos\left(\dfrac{\pi}2-\sin x\right)=\sin (\sin x),\]且\[\sin(\cos x)<\sin\left(\dfrac{\pi}2-\sin x\right)=\cos (\sin x),\]于是选项 AB 错误．
令 $x_1=\arctan\pi$，$x_2=\arctan\dfrac{4\pi}3$，则\[\begin{split}
\tan(\tan x_1)-\sin(\sin x_1)&<0,\\
\tan(\tan x_2)-\sin(\sin x_2)&>\sqrt 3-1>0,\end{split}\]根据零点的存在性定理，选项 C 正确．
对于选项 D，我们有\[\tan(\sin x)>\sin(\tan x),\]证明如下．
证明设函数\[f(x)=\tan (\sin x)-\sin(\tan x),\]则\[f'(x)=\dfrac{\cos x}{\cos^2(\sin x)}-\dfrac{\cos(\tan x)}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^3x-\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}{\cos^2(\sin x)\cos^2x}.\]情形一当 $x\in\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $\sin x,\tan x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．根据均值不等式以及余弦函数在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上上凸，于是\[\sqrt[3]{\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}\leqslant \dfrac{\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)}{3}\leqslant\cos\dfrac{\tan x+2\sin x}{3}.\]设函数\[\varphi(x)=\tan x+2\sin x-3x,\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+2\cos x-3> 0,\]结合 $\varphi(0)=0$，因此在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上有\[\varphi(x)>\varphi(0)=0,\]因此在 $\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 上有\[x<\dfrac{\tan x+2\sin x}3,\]因此在 $\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 上有\[f'(x)>0,\]结合 $ f(0)=0 $，可得命题成立．
情形二当 $ x\in\left[\arctan\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有\[\dfrac{\pi}4<\sqrt{\dfrac{\pi^2}{\pi^2+4}}=\sin\left(\arctan\dfrac{\pi}2\right)\leqslant\sin x<1,\]于是\[1<\tan(\sin x)<\tan 1,\]进而 $f(x)>0$，命题成立．
综上所述，原命题得证．