已知 $n\in\mathbb N^*$，$f(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin k^\circ$，$g(n)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin k^\circ$．求所有使得 $f(n)=g(n)$ 的正整数 $n$ 构成的集合．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\{1\}\cup\{360k\mid k\in\mathbb N^*\}\cup\{360k-1\mid k\in\mathbb N^*\}$
【解析】
根据题意，有\[f(n)\begin{cases} =\sin 1^\circ & n=1,\\ > \sin 1^\circ,& 360\nmid n\land 360\nmid (n+1),\\ =0,& 360\mid n\lor 360\mid (n+1), \end{cases}\]而\[g(n)\begin{cases}=\sin 1^\circ, & n=1,\\ \in \left(0,\sin 1^\circ\right) ,&2\leqslant n\leqslant 179,\\ =0,& n\geqslant 180,\end{cases}\]于是所有使得 $f(n)=g(n)$ 的正整数 $n$ 构成的集合为$$\{1\}\cup\{360k\mid k\in\mathbb N^*\}\cup\{360k-1\mid k\in\mathbb N^*\}.$$
答案
解析
备注
