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已知 $a,b,c,d\geqslant 0$ 且 $a+b+c+d=4$，求 $m=\dfrac{a}{b^3+4}+\dfrac{b}{c^3+4}+\dfrac{c}{d^3+4}+\dfrac{d}{a^3+4}$ 的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    柯西不等式
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
最大值为 $1$，最小值为 $\dfrac 23$
【解析】
最大值根据题意，有\[m\leqslant \dfrac a4+\dfrac b4+\dfrac c4+\dfrac d4=1,\]等号当 $(a,b,c,d)=(0,0,0,4),(0,2,0,2)$ 时可以取得，因此 $m$ 的最大值为 $1$．
最小值根据题意，有\[\begin{split}m&=\sum_{cyc}\dfrac{a\left(b^3+4\right)-ab^3}{4\left(b^3+4\right)}\\
&=\sum_{cyc}\dfrac a4-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{b^3+4}\\
&=1-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{\dfrac 12b^3+\dfrac 12b^3+4}\\
&\geqslant 1-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{3b^2}\\
&=1-\dfrac 1{12}(ab+bc+cd+da)\\
&=1-\dfrac 1{12}(a+c)(b+d)\\
&\geqslant 1-\dfrac 1{12}\left[\dfrac {(a+c)+(b+d)}2\right]^2\\
&=\dfrac 23
,\end{split}\]等号当 $(a,b,c,d)=(2,2,0,0)$ 时可以取得．因此 $m$ 的最小值为 $\dfrac 23$．
答案 解析 备注
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