已知 $a,b,c$ 为正整数，方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个实根 $x_1,x_2$ 满足 $-1< x_1<x_2< 1$，求 $a+b+c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$11$
【解析】
设 $f(x)=ax^2+bx+c$，则根据题意，有\[\begin{cases}&f(-1)>0, \\ &f(1)>0,\\ &-1<-\dfrac b{2a}<1,\\ &\Delta=b^2-4ac>0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} a-b+c\geqslant 1,\\ 2a-b\geqslant 1,\\ b^2-4ac\geqslant 1.\end{cases}\]因此\[a+b+c=(a-b+c)+2b\geqslant 1+2b,\]接下来研究 $b$ 的最小值．由于 $b^2\geqslant 4ac+1\geqslant 5$，于是从 $b=3$ 开始试探．
情形一 $b=3$．此时 $a+c\geqslant 4$，且$$ac\leqslant \dfrac{b^2-1}4=2,$$无解．
情形二 $b=4$．此时 $a+c\geqslant 5$，且$$ac\leqslant \dfrac{b^2-1}4=\dfrac{15}4,$$于是 $ac\leqslant 3$，无解．
情形三 $b=5$．此时有解 $(a,c)=(5,1)$．
综上 $a+b+c\geqslant 11$ 且等号当 $(a,b,c)=(5,5,1)$ 时取得，因此 $a+b+c$ 的最小值为 $11$．
综上 $a+b+c\geqslant 11$ 且等号当 $(a,b,c)=(5,5,1)$ 时取得，因此 $a+b+c$ 的最小值为 $11$．
答案
解析
备注
