已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a+b+c=3$，求 $m=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{81}{16}$
【解析】
先计算可能的最大值．\[\begin{matrix}\hline
a & b & c & m \\ \hline
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & \dfrac 32 & \dfrac 32 & \dfrac{81}{16} \\
1 & 1 & 1 & 3 \\ \hline
\end{matrix}\]不妨设 $a$ 最小，则 $0\leqslant a\leqslant 1$．此时\[\begin{split}m&=a^2\left(b^2+c^2\right)+b^2c^2\\
&\leqslant a^2(b+c)^2+\left(\dfrac{b+c}2\right)^4\\
&=a^2(3-a)^2+\dfrac 1{16}(3-a)^4.\end{split}\]记右侧关于 $a$ 的函数为 $\varphi(a)$，则其导函数\[\varphi'(a)=\dfrac {3-a}4\left(-17a^2+30a-9\right),\]因此函数 $\varphi(a)$ 在区间 $[0,1]$ 上先单调递减，再单调递增，其最大值为\[\max\left\{\varphi(0),\varphi(1)\right\}=\max\left\{\dfrac{81}{16},5\right\}=\dfrac{81}{16}.\]因此 $m$ 的最大值为 $\dfrac{81}{16}$，当 $(a,b,c)$ 为 $\left(0,\dfrac 32,\dfrac 32\right)$ 及其轮换时取得．
a & b & c & m \\ \hline
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & \dfrac 32 & \dfrac 32 & \dfrac{81}{16} \\
1 & 1 & 1 & 3 \\ \hline
\end{matrix}\]不妨设 $a$ 最小，则 $0\leqslant a\leqslant 1$．此时\[\begin{split}m&=a^2\left(b^2+c^2\right)+b^2c^2\\
&\leqslant a^2(b+c)^2+\left(\dfrac{b+c}2\right)^4\\
&=a^2(3-a)^2+\dfrac 1{16}(3-a)^4.\end{split}\]记右侧关于 $a$ 的函数为 $\varphi(a)$，则其导函数\[\varphi'(a)=\dfrac {3-a}4\left(-17a^2+30a-9\right),\]因此函数 $\varphi(a)$ 在区间 $[0,1]$ 上先单调递减，再单调递增，其最大值为\[\max\left\{\varphi(0),\varphi(1)\right\}=\max\left\{\dfrac{81}{16},5\right\}=\dfrac{81}{16}.\]因此 $m$ 的最大值为 $\dfrac{81}{16}$，当 $(a,b,c)$ 为 $\left(0,\dfrac 32,\dfrac 32\right)$ 及其轮换时取得．
答案
解析
备注
