已知 $a,b,c$ 为正实数，求证：$\dfrac{\sqrt{a^{2}+3bc}}{a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}+3ac}}{b}+\dfrac{\sqrt{c^{2}+3ab}}{c}\geqslant 6$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
$\dfrac{\sqrt{a^{2}+3bc}}{a}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+bc+bc+bc}}{a}\geqslant \dfrac{\sqrt{4\sqrt[4]{a^{2}b^{3}c^{3}}}}{a}=\dfrac{2\sqrt[8]{a^{2}b^{3}c^{3}}}{a}$，同理\[\dfrac{\sqrt{b^{2}+3ac}}{b}\geqslant \dfrac{2\sqrt[8]{a^{3}b^{2}c^{3}}}{b}, \dfrac{\sqrt{c^{2}+3ab}}{c}\geqslant \dfrac{2\sqrt[8]{a^{3}b^{3}c^{2}}}{c}.\]所以\[\begin{split}&\quad \dfrac{\sqrt{a^{2}+3bc}}{a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}+3ac}}{b}+\dfrac{\sqrt{c^{2}+3ab}}{c}\\&\geqslant \dfrac{2\sqrt[8]{a^{2}b^{3}c^{3}}}{a}+\dfrac{2\sqrt[8]{a^{3}b^{2}c^{3}}}{b}+\dfrac{2\sqrt[8]{a^{3}b^{3}c^{2}}}{c}\\&\geqslant 2\cdot 3\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt[8]{a^{8}b^{8}c^{8}}}{abc}}=6.\end{split}\]
答案
解析
备注
