题目 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 $ 1000 $ 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>&“厨余垃圾”箱&“可回收物”箱&“其他垃圾”箱\\ \hline<br/>厨余垃圾&400&100&100\\ \hline<br/>可回收物&30&240&30\\ \hline<br/>其他垃圾&20&20&60\\ \hline<br/>\end{array}\] 问题1 试估计厨余垃圾投放正确的概率； 答案1 厨余垃圾投放正确的概率 $ {\dfrac{2}{3}} $． 解析1 需要从统计表中准确的读出厨余垃圾总量和“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量．厨余垃圾投放正确的概率约为\[ {\dfrac{“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量}{厨余垃圾总量}}={\dfrac{400}{400+100+100}}={\dfrac{2}{3}}. \] 备注1 问题2 试估计生活垃圾投放错误的概率； 答案2 生活垃圾投放错误的概率 $ 0.3 $． 解析2 可以先求出生活垃圾投放正确的概率，再利用对立事件的概率公式，计算其投放错误的概率．设生活垃圾投放错误为事件 $ A $，则事件 $ \overline A $ 表示生活垃圾投放正确．<br/>事件 $ \overline A $ 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即\[ P\left(\overline A\right)= {\dfrac{400+240+60}{1 000}}=0.7 ,\]所以\[ P\left(A\right)= 1-0.7=0.3 .\] 备注2 问题3 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 $a$，$ b $，$c$，其中 $a > 0$，$a + b + c = 600$．当数据 $a$，$ b $，$c$ 的方差 ${s^2}$ 最大时，写出 $a$，$ b $，$c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 ${s^2}$ 的值．<br/>（注：${s^2} = \dfrac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \bar x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \bar x } \right)}^2} + \cdots + {{\left( {{x_n} - \bar x } \right)}^2}} \right]$，其中 $\bar x $ 为数据 ${x_1}$，$ {x_2} $，$ \cdots $，$ {x_n}$ 的平均数） 答案3 当 $ a=600$，$b=c=0 $ 时，$ s^2 $ 取得最大值．$ s^2 $ 的最大值为 $80000$． 解析3 平均数是定值，方差最大需使 $a$，$ b $，$c$ 的值离平均数尽量的“远”，故找极端值求解即可．当 $ a=600$，$b=c=0 $ 时，$ s^2 $ 取得最大值．<br/>因为\[\bar x ={\dfrac{1}{3}}\left(a+b+c\right)=200, \]所以\[ s^2={\dfrac{1}{3}}\left[\left(600-200\right)^2+\left(0-200\right)^2+\left(0-200\right)^2\right]=80 000. \]即 $ s^2 $ 的最大值为 $80000$． 备注3