题目 某港口 $ O $ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 $ O $ 北偏西 ${30^ \circ }$ 且与该港口相距 $ 20 $ 海里的 $ A $ 处，并以 $ 30 $ 海里 $ {/} $ 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以 $v$ 海里 $ {/} $ 小时的航行速度匀速行驶，经过 $ t $ 小时与轮船相遇． 问题1 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ 答案1 小艇航行速度的大小应为 $30\sqrt 3 $ $ 海里{/}小时 $． 解析1 可由余弦定理表达出小艇的航行距离 $ S $，当 $ S $ 最小时求出相应的 $v$ 即可．设相遇时小艇航行的距离为 $ S $ 海里，则\[ \begin{split}S & =\sqrt{900t^2 +400-2\times 30t \times 20 \times \cos \left(90^\circ - 30^\circ\right)} \\& = \sqrt{900t^2 -600t +400} \\&= \sqrt {900\left(t-\dfrac 1 3 \right)^2 +300}. \end{split} \]故当 $ t=\dfrac 1 3 $ 时，\[S_{\min}=10\sqrt 3 ,\]此时\[ v= \dfrac {10\sqrt 3} {\dfrac 1 3 } = 30\sqrt 3 .\]即小艇以 $ 30\sqrt 3 $ $ 海里{/}小时 $ 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． 备注1 问题2 假设小艇的最高航行速度只能达到 $ 30 $ $ 海里{/}小时 $，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 答案2 方案：航行方向为北偏东 $ 30^\circ$，航行速度为 $ 30 $ $ 海里{/}小时 $，小艇能以最短时间与轮船相遇．理由略． 解析2 设在 $ B $ 处相遇，解 $ \triangle OAB$，由余弦定理表达出 $v^2$，再由 $0 < v \leqslant 30 $ 得相应的不等式，解之即可．设小艇与轮船在 $ B $ 处相遇，则\[ v^2t^2 = 400+900t^2-2\times 20\times 30t \times \cos \left(90^\circ - 30^\circ\right), \]故\[ v^2=900-\dfrac {600} t +\dfrac {400} {t^2} , \]因为 $0 < v \leqslant 30 $，所以\[ 900-\dfrac {600} t +\dfrac {400} {t^2} \leqslant 900 , \]整理得\[\dfrac 2 {t^2} -\dfrac 3 t \leqslant 0,\]解得\[t \geqslant \dfrac 2 3 \]又 $t=\dfrac 2 3 $ 时，\[v=30.\]故 $v=30 $ 时，$ t$ 取得最小值，且最小值为 $\dfrac 2 3 $．<br/>此时，在 $ \triangle OAB$ 中，有\[ OA=OB=AB=20,\]故可设计航行方案如下：<br/>航行方向为北偏东 $ 30^\circ$，航行速度为 $ 30 $ $ 海里{/}小时 $，小艇能以最短时间与轮船相遇． 备注2