已知函数 $ f\left(x\right)=\cos \left(\dfrac{{\mathrm \pi} }{3} + x\right)\cos \left(\dfrac{{\mathrm \pi} }{3} - x\right)$，$g\left(x\right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{4} $．
【难度】
【出处】
2010年高考湖北卷（理）
【标注】
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求函数 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期；标注答案${\mathrm \pi} $解析先展开、相乘，再用二倍角公式降次、合并，此时周期易求．因为\[\begin{split}f\left(x\right) &\overset{\left[a\right]}= \left(\dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin x\right)\left(\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin x\right) \\&= \dfrac{1}{4}{\cos ^2}x - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}x \\&\overset{\left[b\right]}= \dfrac{1 + \cos 2x}{8} - \dfrac{3 - 3\cos 2x}{8} \\&= \dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{1}{4},\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$）
所以 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{2} ={\mathrm \pi} $． -
求函数 $ h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right) $ 的最大值，并求使 $ h\left(x\right) $ 取得最大值的 $ x $ 的集合．标注答案最大值为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$，对应的 $x$ 的集合为 $\left\{x\left|x = k{\mathrm \pi} - \dfrac{\mathrm \pi} 8\right.,k \in {\mathbb{Z}}\right\}$解析由辅助角公式化简 $h\left(x\right)$ 的解析式，再类比余弦函数的性质求其最值．由已知得\[\begin{split}h\left(x\right) &= f\left(x\right) - g\left(x\right) \\&= \dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x \\&\overset{\left[c\right]}= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\cos \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi} {4}\right),\end{split}\]（推导中用到 $\left[c\right]$）
当 $2x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4} = 2k{\mathrm \pi} \left(k \in {\mathbb{Z}}\right)$ 时，$h\left(x\right)$ 取得最大值 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
$h\left(x\right)$ 取得最大值 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$ 时，对应的 $x$ 的集合为\[\left\{x\left|x = k{\mathrm \pi} - \dfrac{\mathrm \pi} 8\right.,k \in {\mathbb{Z}}\right\}. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
