已知数列 $ \left\{a_{n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，且 $ S_{n}=n-5a_{n}-85 ,n\in {\mathbb{N}}^* $．
【难度】
【出处】
2010年高考上海卷（理）
【标注】
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证明：$ \left\{a_{n}-1\right\} $ 是等比数列；标注答案略解析本题考查等比数列的判定与证明，是从定义出发证明数列为等比数列．当 $ n=1 $ 时，\[a_{1}=-14 ;\]当 $ n\geqslant 2 $ 时，\[ \begin{split}a_{n}&\overset{\left[a\right]}=S_{n}-S_{n-1}\\&=-5a_{n}+5a_{n-1}+1, \end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right]$）
可化为\[{a_n} - 1 = \dfrac{5}{6}\left({a_{n - 1}} - 1\right),\]又 $ a_{1}-1=-15\neq 0 $，则数列 $ \left\{a_{n}-1 \right\}$ 是等比数列． -
求数列 $ \left\{S_{n}\right\} $ 的通项公式，并指出 $ n $ 为何值时，$ S_{n} $ 取得最小值，并说明理由．标注答案$ n=15 $解析通过分析判断数列的单调性，求解数列的最大项或最小项．由（1）知\[{a_n} - 1 = - 15 \cdot {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^{n - 1}},\]解得\[{a_n} = 1 - 15 \cdot {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^{n - 1}},\]从而\[{S_n} = 75 \cdot {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^{n - 1}} + n - 90 \left(n\in{\mathbb{N}}^*\right),\]由不等式 $ S_{n}<S_{n+1} $，得\[{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^{n - 1}} < \dfrac{2}{25},\]即\[n > {\log _{\frac{5}{6}}}\dfrac{2}{25} + 1 \approx 14.9,\]于是当 $ n\geqslant 15 $ 时，数列 $ \left\{S_{n}\right\} $ 单调递增；
同理可得，当 $ n\leqslant 15 $ 时，数列 $ \left\{S_{n}\right\} $ 单调递减；
故当 $ n=15 $ 时，$ S_{n} $ 取得最小值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
