题目

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某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 四个问题，规则如下：
① 每位参加者计分器的初始分均为 $ 10 $ 分，答对问题 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 分别加 $ 1 $ 分、$ 2 $ 分、$ 3 $ 分、$ 6 $ 分，答错任一题减 $ 2 $ 分；
② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 $ 8 $ 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 $ 14 $ 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 $ 14 $ 分时，答题结束，淘汰出局；
③ 每位参加者按问题 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 回答正确的概率依次为 $\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

【难度】

【出处】

2010年高考山东卷（理）

【标注】

求甲同学能进入下一轮的概率；
标注
答案

甲同学能进入下一轮的概率为 $ \dfrac14$．

解析

甲同学能进入下一轮的情况有：答对前三道（不需要答第四道题了）、只答错第一道、只答错第二道、只答错第三道以及答错第一、三道答对二、四道题这五种情况．设 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，$ \overline{A} $、$ \overline{B} $、$ \overline{C} $、$ \overline{D} $ 分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得：\[ P\left(A\right)=\dfrac 3 4 ,P\left(B\right)=\dfrac 1 2 ,P\left(C\right)=\dfrac 1 3 ,P\left(D\right)=\dfrac 1 4 ,\]所以\[P\left(\overline{A}\right)=\dfrac 1 4 ,P\left(\overline{B}\right)=\dfrac 1 2 ,P\left(\overline{C}\right)=\dfrac 2 3 ,P\left(\overline{D}\right)=\dfrac 3 4 .\]记“甲同学能进入下一轮”为事件 $ Q $．则\[ Q=ABC+A\overline{B}CD+AB\overline{C}D+\overline{A}BCD+\overline{A}B\overline{C}D .\]因为每题结果相互独立．所以\[ \begin{split} P\left(Q\right)&=P\left(ABC+A\overline{B}CD+AB\overline{C}D+\overline{A}BCD+\overline{A}B\overline{C}D\right)\\&=P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(C\right)+P\left(A\right)P\left(\overline{B}\right)P\left(C\right)P\left(D\right)+P\left(A\right)P\left(B\right)\cdot P\left(\overline{C}\right)P\left(D\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)P\left(C\right)P\left(D\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)P\left(\overline{C}\right)\cdot P\left(D\right) \\&=\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac13+\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac13\times \dfrac14+\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac23\times \dfrac14+\dfrac14\times \dfrac12\times \dfrac13\times \dfrac14+\dfrac14\times \dfrac12\times \dfrac 2 3 \times \dfrac14\\&=\dfrac14 . \end{split}\]
用 $\xi $ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $\xi $ 的分布列和数学期望 $E\xi $．
标注
答案

$ \xi $ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \xi&2&3&4\\\hline P &\dfrac 1 8 &\dfrac 3 8 &\dfrac 1 2 \\\hline \end{array} \]数学期望\[ E\xi= \dfrac {27} 8 .\]

解析

考查随机变量的分布列和数学期望．由题意知，随机变量 $ \xi $ 的可能取值为：$2,3,4$，则\[\begin{split}P\left(\xi=2\right)&=P\left(\overline{A}\overline{ B}\right)=\dfrac 1 4 \times \dfrac 1 2 =\dfrac 1 8 ,\\P\left(\xi=3\right)&=P\left(ABC+A\overline{B} \overline{C}\right)\\& =\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac13+\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac23=\dfrac38 ,\\ P\left(\xi=4\right)&=1-P\left(\xi=2\right)-P\left(\xi=3\right)\\&=1-\dfrac18-\dfrac38=\dfrac12 .\end{split}\]因此 $ \xi $ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \xi&2&3&4\\\hline P &\dfrac 1 8 &\dfrac 3 8 &\dfrac 1 2 \\\hline \end{array} \]所以\[ E\xi\overset{[a]}=2\times \dfrac 1 8 +3\times \dfrac 3 8 +4\times \dfrac 1 2 =\dfrac {27} 8 .\]（推导中用的 [a]．）

题目问题1 答案1 解析1

甲同学能进入下一轮的情况有：答对前三道（不需要答第四道题了）、只答错第一道、只答错第二道、只答错第三道以及答错第一、三道答对二、四道题这五种情况．设 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，$ \overline{A} $、$ \overline{B} $、$ \overline{C} $、$ \overline{D} $ 分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得：\[ P\left(A\right)=\dfrac 3 4 ,P\left(B\right)=\dfrac 1 2 ,P\left(C\right)=\dfrac 1 3 ,P\left(D\right)=\dfrac 1 4 ,\]所以\[P\left(\overline{A}\right)=\dfrac 1 4 ,P\left(\overline{B}\right)=\dfrac 1 2 ,P\left(\overline{C}\right)=\dfrac 2 3 ,P\left(\overline{D}\right)=\dfrac 3 4 .\]记“甲同学能进入下一轮”为事件 $ Q $．则\[ Q=ABC+A\overline{B}CD+AB\overline{C}D+\overline{A}BCD+\overline{A}B\overline{C}D .\]因为每题结果相互独立．所以\[ \begin{split} P\left(Q\right)&=P\left(ABC+A\overline{B}CD+AB\overline{C}D+\overline{A}BCD+\overline{A}B\overline{C}D\right)\\&=P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(C\right)+P\left(A\right)P\left(\overline{B}\right)P\left(C\right)P\left(D\right)+P\left(A\right)P\left(B\right)\cdot P\left(\overline{C}\right)P\left(D\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)P\left(C\right)P\left(D\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)P\left(\overline{C}\right)\cdot P\left(D\right) \\&=\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac13+\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac13\times \dfrac14+\dfrac34\times \dfrac12\times \dfrac23\times \dfrac14+\dfrac14\times \dfrac12\times \dfrac13\times \dfrac14+\dfrac14\times \dfrac12\times \dfrac 2 3 \times \dfrac14\\&=\dfrac14 . \end{split}\]