已知直线 $l:y = x + m$，$m \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2011年高考福建卷（理）
【标注】
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若以点 $M\left(2,0\right)$ 为圆心的圆与直线 $l$ 相切于点 $P$，且点 $P$ 在 $y$ 轴上，求该圆的方程；标注答案${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 8$解析先求出点 $P$ 坐标，然后求出圆的方程．解法一：
依题意，点 $P$ 的坐标为 $\left( {0,m} \right)$．因为 $MP \perp l$，所以\[\dfrac{0 - m}{2 - 0} \times 1 = - 1,\]解得\[m = 2,\]即点 $P$ 的坐标为 $\left( {0,2} \right)$，从而圆的半径\[ \begin{split}r &= \left| {MP} \right| \\&= \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}} \\&= 2\sqrt 2 ,\end{split} \]故所求圆的方程为\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 8.\]解法二：
设所求圆的半径为 $r$，则圆的方程可设为\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = {r^2}.\]依题意，所求圆与直线 $l:x - y + m = 0$ 相切于点 $P\left( {0,m} \right)$，则\[ \begin{cases}
4 + {m^2} = {r^2}, \\
\dfrac{{\left| {2 - 0 + m} \right|}}{\sqrt 2 } = r, \\
\end{cases} \]解得\[ \begin{cases}m = 2, \\
r = 2\sqrt 2 . \\
\end{cases} \]所以所求圆的方程为\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 8.\] -
若直线 $l$ 关于 $x$ 轴对称的直线为 $l '$，问直线 $l '$ 与抛物线 $C:{x^2} = 4y$ 是否相切？说明理由．标注答案当 $m = 1$ 时，直线 $l '$ 与抛物线 $C$ 相切；
当 $m \ne 1$ 时，直线 $l '$ 与抛物线 $C$ 不相切．解析可利用一元二次方程判别式来判断直线和抛物线是否相切．因为直线 $l$ 的方程为\[y = x + m.\]所以直线 $l '$ 的方程为\[y = - x - m.\]由\[ \begin{cases}
y = - x - m ,\\
{x^2} = 4y, \\
\end{cases} \]得\[{x^2} + 4x + 4m = 0.\]所以\[\Delta = {4^2} - 4 \times 4m = 16\left( {1 - m} \right).\]① 当 $m = 1$，即 $\Delta = 0$ 时，直线 $l'$ 与抛物线 $C$ 相切；
② 当 $m \ne 1$，即 $\Delta \ne 0$ 时，直线 $l '$ 与抛物线 $C$ 不相切．
综上，
当 $m = 1$ 时，直线 $l '$ 与抛物线 $C$ 相切；
当 $m \ne 1$ 时，直线 $l '$ 与抛物线 $C$ 不相切．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
