已知函数 $f\left(x\right) = 4\cos x\sin \left(x + \dfrac{\mathrm \pi} {6}\right) - 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期：标注答案$f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $ {\mathrm \pi} $．解析关键是化简解析式，先将 $\sin \left(x + \dfrac{\mathrm \pi} {6}\right)$ 展开，再与 $4\cos x $ 相乘，最后由辅助角公式完成“合并”．因为\[ \begin{split} f\left(x\right) & =4\cos x \sin \left(x+{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}}\right) -1 \\&
\overset{\left[a\right]}=4\cos x\left( {\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}} \sin x+{\dfrac{1}{2}}\cos x\right) -1 \\&
={\sqrt{3}}\sin 2x+2\cos ^2x-1 \\&
\overset{\left[b\right]}={\sqrt{3}}\sin 2x+\cos 2x \\&
\overset{\left[c\right]}=2\sin \left(2x+{\dfrac{ {\mathrm \pi} }{6}}\right) ,\end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$，$\left[c\right]$）
所以 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期为 $ {\mathrm \pi} $． -
求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ { - \dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right]$ 上的最大值和最小值．标注答案$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ { - \dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right]$ 上的最大值为 $ 2 $，最小值为 $ -1 $．解析类比正弦函数的最值求法即可．因为 $ -{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}}\leqslant x\leqslant {\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4}} $，所以 $-{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}}\leqslant 2x+{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}}\leqslant {\dfrac{2{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}}$，于是：
当 $ 2x+{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}}={\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{2}} $，即 $ x={\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}} $ 时，$ f\left(x\right) $ 取得最大值 $ 2 $；
当 $ 2x+{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}}=-{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}} $，即 $ x=-{\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}} $ 时，$ f\left(x\right) $ 取得最小值 $ -1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
