如图，四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，$O$ 是底面中心，${A_1}O \perp $ 底面 $ABCD$，$AB = A{A_1} = \sqrt 2 $．
【难度】
【出处】
2013年高考陕西卷（文）
【标注】
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证明：平面 ${A_1}BD\parallel $ 平面 $C{D_1}{B_1}$；标注答案略解析一个平面上的两条相交直线分别平行于另一平面，则这两个平面平行．根据棱柱的特征知，$B{B_1} \parallel D{D_1}$，并且 $B{B_1} = D{D_1}$，
$ \therefore $ 四边形 $B{B_1}{D_1}D$ 是平行四边形，
$ \therefore $ $BD\parallel {B_1}{D_1}$，又 $BD \not\subset $ 平面 $C{D_1}{B_1}$，
$ \therefore $ $BD\parallel $ 平面 $C{D_1}{B_1}$．
$ \because $ ${A_1}{D_1} {\parallel }{B_1}{C_1} {\parallel }BC$，并且 ${A_1}{D_1} ={B_1}{C_1} =BC$，
$ \therefore $ 四边形 ${A_1}BC{D_1}$ 是平行四边形，
$ \therefore $ ${A_1}B\parallel {D_1}C$，又 ${A_1}B \not\subset $ 平面 $C{D_1}{B_1}$，
$ \therefore $ ${A_1}B\parallel $ 平面 $C{D_1}{B_1}$，又 $BD \cap {A_1}B = B$，
$ \therefore $ 平面 ${A_1}BD\parallel $ 平面 $C{D_1}{B_1}$． -
求三棱柱 $ABD - {A_1}{B_1}{D_1}$ 的体积．标注答案$1$解析求出三棱柱的底面面积和高即可．$ \because $ ${A_1}O \perp $ 平面 $ABCD$，
$ \therefore $ ${A_1}O$ 是三棱柱 $ABD - {A_1}{B_1}{D_1}$ 的高．又\[AO = \dfrac{1}{2}AC = 1,A{A_1} = \sqrt 2 .\]$ \therefore $ ${A_1}O = \sqrt {AA_1^2 - O{A^2}} = 1$．又\[\begin{split}{S_{\triangle ABD}} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt 2 \times \sqrt 2 = 1,\end{split}\]因此所求三棱柱体积为\[\begin{split}{V_{ 三棱柱 ABD - {A_1}{B_1}{D_1}}} = {S_{\triangle ABD}} \cdot {A_1}O = 1.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
