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已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $6\cos A=4\cos B=3\cos C$，则 \((\qquad)\)
A: $B\in \left(0,\dfrac{\pi}6\right)$
B: $B\in\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}4\right)$
C: $B\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}3\right)$
D: $B\in\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    三角形中的三角恒等式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
D
【解析】
设\[6\cos A=4\cos B=3\cos C=12t,\]则\[\cos A=2t,\cos B=3t,\cos C=4t.\]我们熟知\[\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1-2\cos A\cos B\cos C,\]于是\[48t^3+29t^2-1=0.\]设函数\[f(x)=48x^3+29x^2-1,\]则函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 14\right]$ 上单调递增，且\[f\left(\dfrac 16\right)=\dfrac{1}{36}>0,\]于是\[\cos B=3t<\dfrac 12=\cos\dfrac{\pi}3,\]因此 $B>\dfrac{\pi}3$．
题目 答案 解析 备注
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