平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$，左、右焦点分别是 $F_1$，$F_2$．以 $F_1$ 为圆心、以 $3$ 为半径的圆与以 $F_2$ 为圆心、以 $1$ 为半径的圆相交，且交点在椭圆 $C$ 上．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆 $C$ 的方程；标注答案椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac {x^2}{4}+y^2=1$．解析此题考察了椭圆的基本量，属于圆锥曲线中确定基本量的问题，是基础题．由题意知 $2a=4$，则 $a=2$．又\[\begin{cases}\dfrac ca \overset{\left[a\right]}=\dfrac {\sqrt 3}{2},\\ a^2-c^2\overset{\left[b\right]}=b^2.\end{cases} \]（推导中用到：[a]，[b]）
解得 $\begin{cases}b=1,\\c=\sqrt 3.\end{cases}$ 所以椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac {x^2}{4}+y^2=1$． -
设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{4b^2}=1$，$P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y=kx+m$ 交椭圆 $E $ 于 $A$，$B$ 两点，射线 $PO$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$．
① 求 $\dfrac{ \left|OQ \right|}{ \left|OP \right|}$ 的值；
② 求 $\triangle ABQ$ 面积的最大值．标注答案① $\dfrac { \left|OQ \right|}{ \left|OP \right|}=2$．② $\triangle ABQ$ 的面积的最大值为 $6\sqrt 3$．解析问题a由于 $ O $，$ P $，$ Q $ 共线，且 $ P $，$ Q $ 分别在椭圆 $C$ 与椭圆 $E$ 上，设坐标并带入椭圆方程，即可解得．
问题b是椭圆中面积最大值问题，可将 $S_{\triangle{ABQ}}$ 表示出，利用均值求得，计算量较大．由（1）知椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac {x^2}{16}+\dfrac {y^2}{4}=1$．
① 设 $P_0\left(x_0,y_0\right)$，$\dfrac { \left|OQ \right|}{ \left|OP \right|}=\lambda $，由题意知 $Q\left(-\lambda x_0,-\lambda y_0\right)$．因为 $\dfrac {x_0^2}{4}+y_0^2=1$，又\[\dfrac {\left(-\lambda x_0\right)^2}{16}+\dfrac {\left(-\lambda y_0\right)^2}{4}=1,\]即\[\dfrac {\lambda ^2}{4}\left(\dfrac {x_0^2}{4}+y_0^2\right)=1 ,\]所以 $\lambda =2$，即 $\dfrac { \left|OQ \right|}{ \left|OP \right|}=2$．
② 设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$．将 $y=kx+m$ 代入椭圆 $E$ 的方程，可得\[\left(1+4k^2\right)x^2+8kmx+4m^2-16=0 ,\]由 $\Delta >0$，可得\[m^2<4+16k^2.\quad \cdots\cdots\left(*\right)\]则有\[x_1+x_2=-\dfrac {8km}{1+4k^2} , x_1x_2=\dfrac {4m^2-16}{1+4k^2}.\]所以\[ \left|x_1-x_2 \right|\overset {\left[a\right]}=\dfrac {4\sqrt {16k^2+4-m^2}}{1+4k^2} .\]（推导中用到：[a]）
因为直线 $y=kx+m$ 与 $y$ 轴交点的坐标为 $\left(0,m\right)$，所以 $\triangle OAB$ 的面积\[\begin{split}S&=\dfrac12 \left|m \right| \left|x_1-x_2 \right|\\&=\dfrac {2\sqrt {16k^2+4-m^2} \left|m \right|}{1+4k^2}\\&=\dfrac {2\sqrt {\left(16k^2+4-m^2\right)m^2}}{1+4k^2}\\&=2\sqrt {\left(4-\dfrac {m^2}{1+4k^2}\right)\dfrac {m^2}{1+4k^2}} .\end{split}\]设 $\dfrac {m^2}{1+4k^2}=t$．将 $y=kx+m$ 代入椭圆 $C$ 的方程，可得\[\left(1+4k^2\right)x^2+8kmx+4m^2-4=0,\]由 $\Delta \geqslant 0$，可得\[m^2\leqslant 1+4k^2.\quad \cdots\cdots \left(**\right)\]由 $ \left(*\right) \left(**\right)$ 可知 $0<t\leqslant 1$，因此\[S=2\sqrt {\left(4-t\right)t}=2\sqrt {-t^2+4t} ,\]故 $S\leqslant 2\sqrt 3$．
当且仅当 $t=1$，即 $m^2= 1+4k^2$ 时取得最大值 $2\sqrt 3$．由 ① 知，$\triangle ABQ$ 的面积为 $3S$，所以 $\triangle ABQ$ 的面积的最大值为 $6\sqrt 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
