题目 已知 $\tan{\alpha}=2$． 问题1 求 $\tan\left(\alpha+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)$ 的值； 答案1 $\tan\left(\alpha+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=-3$ 解析1 本小问考查了两角和的正切公式，属于基础题．由两角和的正切公式得\[\begin{split}\tan\left(\alpha+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\dfrac{\mathrm \pi} {4}}{1-\tan\alpha\tan\dfrac{\mathrm \pi} {4}}\\&=\dfrac{2+1}{1-2\times 1}\\&=-3 .\end{split}\] 备注1 问题2 求 $\dfrac{\sin{2\alpha}}{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-\cos{2\alpha}-1}$ 的值． 答案2 $1 $ 解析2 本小问考查对三角恒等变换公式的灵活运用能力，此类题目一般先化简，后求值，需要注意的是在化简过程中" $1$ "往往用把它化成 $\sin^2\alpha +\cos^2\alpha $ 便于化简．\[\begin{split}\dfrac{\sin {2\alpha}}{\sin ^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-\cos {2\alpha}-1}\overset{\left[a\right]}=&\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha}\\\overset{\left[b\right]}=&\dfrac{2\tan\alpha}{\tan^2\alpha+\tan\alpha-2}\\&=\dfrac{2\times 2}{4+2-2}\\&=1 .\end{split}\]（推导过程中用到：[a]，[b]） 备注2