$a$ 的取值范围为 $a\leqslant \dfrac 12$．

第（1）小问主要是解绝对值不等式，属于基础题．由题意可得\[f\left(0\right)=a^2+{\left|{a}\right|}-a^2+a={\left|{a}\right|}+a\leqslant 1 ,\]当 $a\leqslant 0$ 时，$0\leqslant 1$，成立；
当 $a>0$ 时，$2a\leqslant 1$，得 $a\leqslant \dfrac 12$，即 $0<a\leqslant \dfrac 12$．
综上，$a$ 的取值范围为 $a\leqslant \dfrac 12$．

$f\left(x\right)$ 在 $\left[a,+\infty\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\infty,a\right)$ 上单调递减．

主要考察了函数的单调性，函数 $f(x)$ 是含绝对值的函数，一般我们先去绝对值，然后再分段考虑单调性．由题意可得\[f\left(x\right)=\begin{cases}x^2-\left(2a-1\right)x,&x\geqslant a,\\ x^2-\left(2a+1\right)x+2a,&x<a,\end{cases}\]当 $x\geqslant a$ 时，$f\left(x\right)$ 对应的抛物线的对称轴为\[x=\dfrac{2a-1}{2}=a-\dfrac 12<a ,\]且开口向上，所以 $ f\left(x\right)$ 在 $\left[a,+\infty\right) $ 上单调递增；
当 $x<a$ 时，$f\left(x\right)$ 对应的抛物线的对称轴为\[x=\dfrac{2a+1}{2}=a+\dfrac 12>a ,\]且开口向上，所以 $ f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,a\right)$ 上单调递减．
综上，$f\left(x\right)$ 在 $\left[a,+\infty\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\infty,a\right)$ 上单调递减．

当 $a=2$ 时，$f\left(x\right)+\dfrac 4x$ 有一个零点 $x=2$；当 $a>2$ 时，$f\left(x\right)+\dfrac 4x$ 有两个零点．

因为第（2）问是研究函数 $f(x)$ 的单调性，且函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的性质也比较简单，故研究函数 $f(x)+\dfrac{4}{x}$ 的零点问题，可以将其看成函数 $y=f(x)$ 与函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的交点问题．由（2）知，$f\left(x\right)_{\min}=f\left(a\right)=a-a^2$．
① 当 $a=2$ 时，$f\left(x\right)_{\min}=f\left(2\right)=-2$，\[f\left(x\right)=\begin{cases}x^2-3x,&x\geqslant 2,\\ x^2-5x+4,&x<2,\end{cases}\]令 $g\left(x\right)=-\dfrac 4x\left(x>0\right)$．
当 $x<2$ 时，$f\left(x\right)=x^2-5x+4$，因为 $ f\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 上单调递减，所以 $ f\left(x\right)>f\left(2\right)=-2$．
而 $g\left(x\right)=-\dfrac 4x$ 在 $\left(0,2\right)$ 上单调递增，所以 $g\left(x\right)<g\left(2\right)=-2$，所以 $ f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 上无交点．
当 $x\geqslant 2$ 时，$f\left(x\right)=x^2-3x$，\[f\left(x\right)+\dfrac 4x=0 ,\]即\[x^3-3x^2+4=0 ,\]整理得 $\left(x-2\right)^2\left(x+1\right)=0$．
又 $x\geqslant 2$，所以 $ x=2$．故当 $a=2$ 时，$f\left(x\right)+\dfrac 4x$ 有一个零点 $x=2$．
② 当 $a>2$ 时，\[f\left(x\right)_{\min}=f\left(a\right)=a-a^2<0 .\]当 $x\in\left(0,a\right)$ 时，$f\left(0\right)=2a>4$，$f\left(a\right)=a-a^2$，而 $g\left(x\right)=-\dfrac 4x$ 在 $x\in\left(0,a\right)$ 上单调递增．
当 $x=a$ 时，$g\left(a\right)=-\dfrac 4a$．
又\[a-a^2-\left(-\dfrac 4a\right)=\dfrac{-\left(a-2\right)\left(a^2+a+2\right)}{a}<0 ,\]所以 $ f\left(a\right)=a-a^2<-\dfrac 4a$，如图，易得当 $a>2$ 时，$f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)=-\dfrac 4x$ 有两个交点．
综上，当 $a=2$ 时，$f\left(x\right)+\dfrac 4x$ 有一个零点 $x=2$；当 $a>2$ 时，$f\left(x\right)+\dfrac 4x$ 有两个零点．