题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$．已知 $\tan\left(\dfrac{\mathrm \pi} 4+A\right)=2$． 问题1 求 $\dfrac{\sin{2A}}{\sin{2A}+{\cos^2}A}$ 的值； 答案1 $\dfrac 25$． 解析1 通过 $\tan\left(\dfrac{\mathrm \pi} 4+A\right)=2$ 可求出 $\tan A$ 的值，然后用二倍角公式和同角三角函数的基本关系式对 $\dfrac{\sin{2A}}{\sin{2A}+{\cos^2}A}$ 先化简再求值即可．由\[\tan\left(\dfrac{\mathrm \pi} 4+A\right)=2\]得\[\tan A\overset{\left[a\right]}=\dfrac{\tan \frac{\mathrm \pi} 4+\tan A}{1-\tan \frac{\mathrm \pi} 4\cdot \tan A}=\dfrac 13.\]（推导中用到：[a]）<br/>所以\[\begin{split}\dfrac{\sin{2A}}{\sin{2A}+{\cos^2}A}&\overset{\left[b\right]}=\dfrac{2\sin A\cos A}{2\sin A\cos A+\cos^2 A}\\&=\dfrac {2\sin A}{2\sin A+\cos A}.\end{split}\]（推导中用到：[b]）<br/>分子分母同除以 $\cos A$，可得原式 $=\dfrac{2\tan A}{2\tan A+1}=\dfrac 25$． 备注1 问题2 若 $B=\dfrac{\mathrm \pi} 4$，$a=3$，求 $\triangle ABC$ 的面积． 答案2 $9$． 解析2 本题可以先通过同角三角函数的基本关系、正弦定理、诱导公式等内容求出其他一些边和角，然后利用三角形的面积公式求出面积即可．因为 $\tan A=\dfrac 13$，$A\in\left(0,{\mathrm \pi} \right)$，由同角三角函数的基本关系可得\[\sin A=\dfrac{\sqrt{10}}{10},\cos A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}.\]由 $a=3$，$B=\dfrac{\mathrm \pi} 4$ 及 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，得\[b=3\sqrt 5.\]由 $\sin C=\sin\left(A+B\right)=\sin\left(A+\dfrac{\mathrm \pi} 4 \right)$，得\[\sin C\overset{\left[a\right]}=\sin A\cos \dfrac{\mathrm \pi} 4+\cos A\sin \dfrac{\mathrm \pi} 4=\dfrac{2\sqrt 5}5.\]（推导中用到：）<br/>所以 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\dfrac 12ab\sin C=9$． 备注2