已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，$b_1=1$，$a_{n+1}=2a_n\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$，$b_1+\dfrac 12b_2+\dfrac 13b_3+\cdots+\dfrac 1n b_n=b_{n+1}-1\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$．
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（文）
【标注】
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求 $a_n$ 与 $b_n$；标注答案$a_n=2^n\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$．
$ b_n=n\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$．解析本题中的数列 $\left\{a_n\right\}$ 符合等比数列的定义，按等比数列通项公式求出即可；数列 $\left\{b_n\right\}$ 需要用到前 $n$ 项和与通项的关系，得到递推公式后再用累乘法可得．由 $a_{n+1}=2a_n\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$ 得 $\left\{a_n\right\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，所以\[a_n=2^n.\]由题意知：
当 $n=1$ 时，$b_1=b_2-1$，故 $b_2=2$．
当 $n\geqslant 2$ 时，由\[b_1+\dfrac 12b_2+\dfrac 13b_3+\cdots+\dfrac 1n b_n=b_{n+1}-1\cdots ① \]可得\[b_1+\dfrac 12b_2+\dfrac 13b_3+\cdots+\dfrac 1{n-1} b_{n-1}=b_{n}-1\cdots ② \]① - ②，可得 $\dfrac 1n b_n=b_{n+1}-b_n$，整理得\[\dfrac{b_{n+1}}{n+1}=\dfrac{b_n}n,\]应用累乘法可得 $ b_n=n\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$． -
记数列 $\left\{a_n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求 $T_n$．标注答案$\left(n-1\right)2^{n+1}+2\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$．解析显然属于差比数列，用错位相减法即可．由（1）知 $a_nb_n=n\cdot 2^n$，因此\[T_n=2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n,\]\[2T_n=2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\cdots+n\cdot 2^{n+1}.\]所以\[T_n-2T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n-n\cdot 2^{n+1}.\]故 $T_n=\left(n-1\right)2^{n+1}+2\left(n\in{\mathbb N}^*\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
